1. Идентификация объекта
Идентификация – это определение взаимосвязи между выходными и входными сигналами на качественном уровне.
1.1. Исходные данные
Таблица 1.1.1
|
τ |
h(τ) |
|
0 |
0 |
|
0,375 |
0,734863 |
|
0,75 |
2,664493 |
|
1,125 |
5,429391 |
|
1,5 |
8,749775 |
|
1,875 |
12,4098 |
|
2,25 |
16,24474 |
|
2,625 |
20,13057 |
|
3 |
23,97553 |
|
3,375 |
27,71333 |
|
3,75 |
31,2976 |
|
4,125 |
34,69754 |
|
4,5 |
37,89428 |
|
4,875 |
40,87814 |
|
5,25 |
43,64629 |
|
5,625 |
46,201 |
|
6 |
48,54822 |
|
6,375 |
50,69648 |
|
6,75 |
52,65602 |
|
7,125 |
54,43811 |
|
7,5 |
56,05457 |
|
7,875 |
57,51738 |
|
8,25 |
58,83838 |
|
8,625 |
60,02909 |
|
9 |
61,10056 |
|
9,375 |
62,06326 |
|
9,75 |
62,92705 |
|
10,125 |
63,70111 |
|
10,5 |
64,39397 |
|
10,875 |
65,01351 |
|
11,25 |
65,56695 |
|
11,625 |
66,06092 |
|
12 |
66,50146 |
|
12,375 |
66,89405 |
|
12,75 |
67,24368 |
|
13,125 |
67,55485 |
|
13,5 |
67,83163 |
|
13,875 |
68,07769 |
|
14,25 |
68,29633 |
|
14,625 |
68,49052 |
|
15 |
68,66291 |
Рис. 1.1.1. Кривая разгона по исходным данным
1.2. Идентификация объекта управления методом последовательного логарифмирования
Метод последовательного логарифмирования применим для аппроксимации гладких неколебательных апериодических переходных процессов.
Переходная функция должна быть представлена выражением вида:
Суть
метода заключается в последовательном
приближении
сначала решением уравнения первого
порядка, то есть функцией
.
Если эта аппроксимация неудовлетворительна
на каком либо отрезке [0 ,T],
то вводится в рассмотрение вторая
составляющая
.
Неизвестные
и
определяются на каждом этапе аппроксимации
с помощью операции логарифмирования,
вследствие чего этот способ и получил
свое название.
Поэтому
можно предположить, что
есть решение линейного дифференциального
уравнения первого порядка, и написать
приближенное равенство:
Прологарифмируем
функцию
и получим уравнение прямой линии в
полулогарифмическом масштабе по оси
ординат:
.
Отсюда
нетрудно определить неизвестные величины
и
.
Для этого вычисляется функция
и строится график
в зависимости от времени
.
Если
действительно
является решением дифференциального
уравнения первого порядка, то функция:
равна
нулю при всех а не только при больших
значениях времени
,
т.е. асимптота совпадает со всей функцией
Покажем последовательность расчета:
.
Строим вспомогательную функцию
, из которой исключается
.
2)По
полученным данным строим график
зависимости
,
для удобства воспользовавшисьln(
.
По
графику находим
,
как точку пересечения графика с осью
ординат, и
,
как тангенс угла наклона графика к оси
абсцисс. Причем
. Полученные значения исключаем из
исходной функции:
,
Строим функцию откуда находим
и
(см.
п.2)Выполняем проверку вычислений, исходя из условий:
=0,
при
Таблица 1.2.1
|
τ |
h(τ) |
C0 |
h'(τ)=C0-h(τ) |
ln(h'(τ)) |
d(ln(h'(τ)))/dτ |
f(x0)+f'(x0)(x-x0) | |
|
0 |
0 |
70 |
70 |
4,248495242 |
-0,028142774 |
5,141504056 | |
|
0,375 |
0,734863 |
70 |
69,26513672 |
4,237941702 |
-0,075344048 |
5,020228769 | |
|
0,75 |
2,664493 |
70 |
67,33550658 |
4,209687684 |
-0,111808942 |
4,898953482 | |
|
1,125 |
5,429391 |
70 |
64,57060852 |
4,167759331 |
-0,140778137 |
4,777678196 | |
|
1,5 |
8,749775 |
70 |
61,25022539 |
4,114967529 |
-0,164306983 |
4,656402909 | |
|
1,875 |
12,4098 |
70 |
57,59019979 |
4,053352411 |
-0,183762361 |
4,535127622 | |
|
2,25 |
16,24474 |
70 |
53,75526015 |
3,984441526 |
-0,200088838 |
4,413852335 | |
|
2,625 |
20,13057 |
70 |
49,86943107 |
3,909408211 |
-0,213960163 |
4,292577048 | |
|
3 |
23,97553 |
70 |
46,02446717 |
3,82917315 |
-0,225869888 |
4,171301761 | |
|
3,375 |
27,71333 |
70 |
42,2866715 |
3,744471942 |
-0,236187872 |
4,050026474 | |
|
3,75 |
31,2976 |
70 |
38,70239521 |
3,65590149 |
-0,245196771 |
3,928751187 | |
|
4,125 |
34,69754 |
70 |
35,3024618 |
3,563952701 |
-0,253116327 |
3,807475901 | |
|
4,5 |
37,89428 |
70 |
32,10571585 |
3,469034078 |
-0,260119965 |
3,686200614 | |
|
4,875 |
40,87814 |
70 |
29,1218599 |
3,371489091 |
-0,266346393 |
3,564925327 | |
|
5,25 |
43,64629 |
70 |
26,35371348 |
3,271609194 |
-0,271907888 |
3,44365004 | |
|
5,625 |
46,201 |
70 |
23,79900412 |
3,169643736 |
-0,276896308 |
3,322374753 | |
|
6 |
48,54822 |
70 |
21,45177989 |
3,06580762 |
-0,281387541 |
3,201099466 | |
|
6,375 |
50,69648 |
70 |
19,30351671 |
2,960287292 |
-0,285444832 |
3,079824179 | |
|
6,75 |
52,65602 |
70 |
17,34398014 |
2,85324548 |
-0,289121315 |
2,958548892 | |
|
7,125 |
54,43811 |
70 |
15,56189017 |
2,744824987 |
-0,292461959 |
2,837273606 | |
|
7,5 |
56,05457 |
70 |
13,94542856 |
2,635151753 |
-0,295505078 |
2,715998319 | |
|
7,875 |
57,51738 |
70 |
12,4826209 |
2,524337349 |
-0,298283522 |
2,594723032 | |
|
8,25 |
58,83838 |
70 |
11,16161911 |
2,412481028 |
-0,300825617 |
2,473447745 | |
|
8,625 |
60,02909 |
70 |
9,970905689 |
2,299671421 |
-0,303155917 |
2,352172458 | |
|
9 |
61,10056 |
70 |
8,899436433 |
2,185987953 |
-0,305295812 |
2,230897171 | |
|
9,375 |
62,06326 |
70 |
7,936735329 |
2,071502023 |
-0,307264024 |
2,109621884 | |
|
9,75 |
62,92705 |
70 |
7,072952584 |
1,956278014 |
-0,309077006 |
1,988346597 | |
|
10,125 |
63,70111 |
70 |
6,298894468 |
1,840374137 |
-0,310749279 |
1,867071311 | |
|
10,5 |
64,39397 |
70 |
5,606031979 |
1,723843157 |
-0,312293702 |
1,745796024 | |
|
10,875 |
65,01351 |
70 |
4,986493806 |
1,606733019 |
-0,313721706 |
1,624520737 | |
|
11,25 |
65,56695 |
70 |
4,433047979 |
1,489087379 |
-0,315043485 |
1,50324545 | |
|
11,625 |
66,06092 |
70 |
3,939075582 |
1,370946072 |
-0,316268155 |
1,381970163 | |
|
12 |
66,50146 |
70 |
3,498539214 |
1,252345514 |
-0,317403895 |
1,260694876 | |
|
12,375 |
66,89405 |
70 |
3,105948219 |
1,133319053 |
-0,318458062 |
1,139419589 | |
|
12,75 |
67,24368 |
70 |
2,756322269 |
1,01389728 |
-0,319437291 |
1,018144302 | |
|
13,125 |
67,55485 |
70 |
2,445154463 |
0,894108296 |
-0,320347577 |
0,896869016 | |
|
13,5 |
67,83163 |
70 |
2,168374817 |
0,773977955 |
-0,321194353 |
0,775593729 | |
|
13,875 |
68,07769 |
70 |
1,922314776 |
0,653530072 |
-0,321982552 |
0,654318442 | |
|
14,25 |
68,29633 |
70 |
1,703673182 |
0,532786615 |
-0,322716659 |
0,533043155 | |
|
14,625 |
68,49052 |
70 |
1,509483996 |
0,411767868 |
-0,323400765 |
0,411767868 | |
|
15 |
68,66291 |
70 |
1,337085949 |
0,290492581 |
|
| |
Рис.1.2.1. Нахождение величин α и C1 методом последовательного логарифмирования
Представим результат в виде таблицы:
Таблица 1.2.2
|
k |
|
|
α |
β |
|
70 |
170,716 |
-240,716 |
0,323 |
0,229 |
Рис. 1.2.2. Сравнение исходной функции и полученной в результате метода последовательного логарифмирования
Нахождение среднего квадратичного отклонения:
Таблица 1.2.3
|
τ |
h(τ) |
hlog(τ) |
(hlog(τ)-h(τ))^2 |
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
0,375 |
0,734863 |
0,334042 |
0,160657326 |
|
|
0,75 |
2,664493 |
1,259615 |
1,973684125 |
|
|
1,125 |
5,429391 |
2,657424 |
7,683806199 |
|
|
1,5 |
8,749775 |
4,426048 |
18,6946116 |
|
|
1,875 |
12,4098 |
6,47955 |
35,16786818 |
|
|
2,25 |
16,24474 |
8,745386 |
56,24031429 |
|
|
2,625 |
20,13057 |
11,16258 |
80,42478615 |
|
|
3 |
23,97553 |
13,68015 |
105,9949739 |
|
|
3,375 |
27,71333 |
16,25568 |
131,2777344 |
|
|
3,75 |
31,2976 |
18,85416 |
154,8392702 |
|
|
4,125 |
34,69754 |
21,44691 |
175,5791146 |
|
|
4,5 |
37,89428 |
24,01066 |
192,7550329 |
|
|
4,875 |
40,87814 |
26,52676 |
205,9620484 |
|
|
5,25 |
43,64629 |
28,98051 |
215,0850567 |
|
|
5,625 |
46,201 |
31,36052 |
220,2396581 |
|
|
6 |
48,54822 |
33,65825 |
221,7112518 |
|
|
6,375 |
50,69648 |
35,8675 |
219,8986425 |
|
|
6,75 |
52,65602 |
37,98409 |
215,2655286 |
|
|
7,125 |
54,43811 |
40,00547 |
208,3012189 |
|
|
7,5 |
56,05457 |
41,93046 |
199,4905946 |
|
|
7,875 |
57,51738 |
43,75902 |
189,2925402 |
|
|
8,25 |
58,83838 |
45,49201 |
178,1256635 |
|
|
8,625 |
60,02909 |
47,13103 |
166,3599783 |
|
|
9 |
61,10056 |
48,67828 |
154,3132462 |
|
|
9,375 |
62,06326 |
50,13637 |
142,2507895 |
|
|
9,75 |
62,92705 |
51,5083 |
130,3877578 |
|
|
10,125 |
63,70111 |
52,7973 |
118,8930033 |
|
|
10,5 |
64,39397 |
54,00677 |
107,8939013 |
|
|
10,875 |
65,01351 |
55,14023 |
97,48160717 |
|
|
11,25 |
65,56695 |
56,20125 |
87,71637729 |
|
|
11,625 |
66,06092 |
57,19342 |
78,63269497 |
|
|
12 |
66,50146 |
58,12029 |
70,24403273 |
|
|
12,375 |
66,89405 |
58,98538 |
62,54715099 |
|
|
12,75 |
67,24368 |
59,79211 |
55,52588668 |
|
|
13,125 |
67,55485 |
60,54382 |
49,1544223 |
|
|
13,5 |
67,83163 |
61,24375 |
43,40005251 |
|
|
13,875 |
68,07769 |
61,89501 |
38,22548194 |
|
|
14,25 |
68,29633 |
62,50058 |
33,59069785 |
|
|
14,625 |
68,49052 |
63,06332 |
29,45446609 |
|
|
15 |
68,66291 |
63,58596 |
25,77549968 |
|
|
|
|
|
Σ= |
4526,011 |
