3.1 Электростатическое поле в вакууме.

Электрический заряд и его свойства.

Все тела в природе способны электризоваться, т.е. приобретать электрический заряд. Наличие электрического заряда проявляется в том, что заряженное тело взаимодействует с другими заряженными телами. Имеется 2 вида электрических зарядов, условно называемых положительными и отрицательными. Заряды одного знака отталкиваются, разных знаков - притягиваются друг другом.

Электрический заряд является неотъемлемым свойством некоторых элементарных частиц (под элементарными частицами понимают такие микрочастицы, внутреннюю структуру которых на современном уровне развития физики нельзя представить как объединение других частиц). Заряд всех элементарных частиц (если он не равен 0) одинаков по абсолютной величине. Его можно назвать элементарным зарядом.Положительный элементарный заряд мы будем обозначать буквойе.К числу элементарных частиц принадлежат, в частности, электрон (несущий отрицательный заряд–е), протон (несущий положительный заряд+е) и нейтрон (заряд которого равен 0). Из этих частиц построены атомы и молекулы любого вещества, поэтому электрические заряды входят в состав всех тел. Обычно частицы, несущие заряды разных знаков, присутствуют в равных количествах и распределены в теле с одинаковой плотностью. В этом случае алгебраическая сумма зарядов в любом элементарном объеме тела равна 0, и каждый такой объем (и тело в целом) будет нейтральным. Если каким-либо образом создать в теле избыток частиц одного знака (соответственно недостаток частиц другого знака), тело окажется заряженным. Можно также, не изменяя общего количества положительных и отрицательных частиц, вызвать их перераспределение в теле таким образом, что в одной части тела возникнет избыток зарядов одного знака, в другой – другого. Это можно осуществить, приблизив к незаряженному металлическому телу другое заряженное тело. Поскольку всякий зарядqобразуется совокупностью элементарных зарядов, он является целым кратныме:q=Ne. (1.1) Однако элементарный заряд настолько мал, что возможную величину макроскопических зарядов можно считать изменяющейся непрерывно. Если физическая величина может принимать только определенные дискретные значения, говорят, что эта величина квантуется. Факт, выражаемый формулой (1.1), означает, что электрический заряд квантуется. Величина заряда, измеряемая в различных инерциальных системах отсчета, оказывается одинаковой. Следовательно, электрический заряд является релятивистки инвариантным. Отсюда вытекает, что величина заряда не зависит от того, движется этот заряд или покоится. Электрические заряды могут исчезать и возникать вновь. Однако всегда исчезают или возникают два элементарных заряда противоположных знаков. Например, электрон и позитрон (положительный электрон) при встрече аннигилируют, т.е. превращаются в нейтральные гамма-фотоны. При этом исчезают заряды–еи+е. В ходе процесса, называемого рождением пары, гамма-фотон, попадая в поле атомного ядра, превращается в пару частиц – электрон и позитрон. При этом возникают заряды–еи+е.Таким образом,суммарный заряд электрически изолированной системы не может изменяться.Это утверждение носит названиезакона сохранения электрического заряда. Отметим, что закон сохранения электрического заряда тесно связан с релятивистской инвариантностью заряда. Действительно, если бы величина заряда зависела от его скорости, то, приведя в движение заряды одного какого-то знака, мы изменили бы суммарный заряд изолированной системы.

Закон сохранения электрического заряда.

Опыты показывают, что в результате соприкосновения при трении двух электрически нейтральных тел заряды переходят от одного тела к другому. В каждом из них нарушается равенство сумм положительных и отрицательных зарядов – тела заряжаются разноименно. При электризации тела через влияние в нем нарушается равномерное распределение положительных и отрицательных зарядов. Они перераспределяются так, что в одной части тела возникает избыток положительных зарядов, а в другой – отрицательных. Однако в обоих случаях выполняется следующий фундаментальный закон физики – закон сохранения электрического заряда: алгебраическая сумма электрических зарядов тел или частиц, образующих электрически изолированную систему, не изменяется при любых процессах, происходящих в этой системе.

В системе могут образовываться новые электрически заряженные частицы, например электроны вследствие ионизации атомов и молекул, ионы за счет явления ионизации или электролитической диссоциации и др. Однако при этом одновременно рождаются частицы, заряды которых противоположны по знаку и в сумме равны 0. Например, при ионизации атома образуется пара частиц – свободный электрон и однозарядный положительный ион.

Закон Кулона.

Закон, которому подчиняется сила взаимодействия точечных зарядов, был установлен экспериментально в 1785 г. Кулоном. Точечным зарядом называется заряженное тело, размерами которого можно пренебречь по сравнению с расстояниями от этого тела до других тел, несущих электрический заряд. С помощью крутильных весов Кулон измерял силу взаимодействия двух заряженных шариков в зависимости от величины зарядов на них и от расстояния между ними. При этом Кулон исходил из того, что при касании к заряженному металлическому шарику точно такого же незаряженного шарика заряд распределяется между обоими шариками поровну.В результате своих опытов Кулон пришел к выводу, что сила взаимодействия двух неподвижных точечных зарядов пропорциональна величине каждого из зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. Направление силы совпадает с соединяющей заряды прямой.

Отметим, что направление силы взаимодействия вдоль прямой, соединяющей точечные заряды, вытекает из соображений симметрии. Пустое пространство предполагается однородным и изотропным. Следовательно, единственным направлением, выделяемым в пространстве внесенным в него неподвижными точечными зарядами, является направление от одного заряда к другому. Допустим, что сила F, действующая на заряд q1 (рис.2.2), образует с направлением от q1 к q2 угол , отличный от 0 или . Но в силу осевой симметрии нет никаких оснований выделить силу F из множества сил других направлений, образующих с осью q1-q2 такой же угол (направления этих сил образуют конус с углом раствора 2). Возникающее вследствие этого затруднение исчезает при, равном нулю или .Закон Кулона может быть выражен формулойF12 =.(2.1)Здесь k-коэффициент пропорциональности, который предполагается положительным, q1 и q2 – величины взаимодействующих зарядов, r- расстояние между зарядами, e12 - единичный вектор, имеющий направление от заряда q1 к заряду q2, F12 - сила, действующая на заряд (рис. 2.3; рисунок соответствует случаю одноименных зарядов). Сила F21 отличается от F12 знаком:F21=.(2.2)Одинаковый для обоих зарядов модуль силы взаимодействия можно представить в виде .(2.3)Опыт дает, что сила взаимодействия двух данных зарядов не изменяется, если вблизи них поместить еще какие-либо заряды. Пусть имеется зарядqa и, кроме того, N зарядов q1, q2,…,qN. Из сказанного выше вытекает, что результирующая сила F, с которой действуют на qa все N зарядов qi, определяется формулой F=, (2.4)

где Fai – сила, с которой действует на qa заряд qi в отсутствие остальных N-1 зарядов.

Факт, выражаемый формулой (2.4), позволяет, зная закон взаимодействия между точечными зарядами, вычислить силу взаимодействия между зарядами, сосредоточенными на телах конечных размеров. Для этого нужно разбить каждый из зарядов на столь малые заряды dq, чтобы их можно было считать точечными, вычислить по формуле (2.1) силу взаимодействия между зарядами dq, взятыми попарно, и затем произвести векторное сложение этих сил. Математически эта операция полностью совпадает с вычислением силы гравитационного притяжения между телами конечных размеров.Вся совокупность опытных фактов приводит к выводу, что закон Кулона справедлив для расстояний от м до по крайней мере нескольких километров. Есть основания предполагать, что для расстояний, меньшихм, закон перестает быть справедливым. Для очень больших расстояний экспериментальных подтверждений закона Кулона нет. Однако нет также причин ожидать, что этот закон перестает выполняться при очень больших расстояниях между зарядами.

Напряженность электрического поля.

Количественной характеристикой силового действия электрического поля на заряженные частицы и тела служит векторная величинаЕ – напряженность электрического поля. Напряженность электрического поля равна отношению силы F, действующей со стороны поля на неподвижный точечный пробный электрический заряд, помещенный в рассматриваемую точку поля, к этому заряду :(13.7)Пробный электрический заряд должен быть столь малым, чтобы его внесение в поле не вызвало изменения значений и перераспределения в пространстве электрических зарядов, напряженность поля которых измеряется с его помощью.

Электрическое поле однородно, если во всех его точках векторы напряженности Е одинаковы, т.е. совпадают как по модулю, так и по направлению. Сила , действующая со стороны электрического поля на помещенный в него произвольный («непробный») точечный электрический заряд q, равна(13.8)Однако в отличие от (13.7) здесьЕ – напряженность в месте нахождения заряда q для поля, искаженного этим зарядом, т.е. в общем случае отличного от того поля, которое было до внесения в него заряда q. Кулоновское взаимодействие между неподвижными электрически заряженными частицами или телами осуществляется посредством их электростатического поля. Электростатическое поле представляет собой стационарное (не изменяющееся с течением времени) электрическое поле. Напряженность электростатического поля точечного заряда q в вакууме можно найти из закона Кулона (13.9)

Принцип суперпозиции. Рассмотрим метод определения модуля и направления вектора напряженности Е в каждой точке электростатического поля, создаваемого системой неподвижных зарядовq₁,q₂…q_nОпыт показывает, что к Кулоновским силам применим рассмотренный в механике принцип независимости действия сил, т.е. результирующая сила, действующая со стороны поля на пробный зарядq₀равна векторной сумме сил, приложенных к нему со стороны каждого из зарядовq_i: F=∑F_i. Отсюда: Е=∑Е_iэта формула выражает принцип суперпозиции (наложения) электростатических полей, согласно которому напряженность Е результирующего поля, создаваемого системой зарядов, равна геометрической сумме напряженностей полей, создаваемых в данной точке каждым из зарядов в отдельности.

Электрический диполь.Принцип суперпозиции применим для расчета электростатического поля электрического диполя.Электрический диполь-система двух равных по модулю разноименных точечных зарядов, расстояние м/у которыми значительно меньше расстояния до рассматриваемых точек поля. Вектор, направленный по оси диполя от отриц заряда к полож и равный расстоянию м/у ними наз-сяплечом диполя (l).ВекторP=│Q│Lсовпадающий по направлению с плечом диполя наз-сяэлектрическим моментом диполяилидипольным моментом. Е=Е₊+Е_-.

Поток вектора напряженности. Вычисление поля напряженности системы эл зарядов с помощью принципа суперпозиции электростатических полей можно значительно упростить, используя выведенным немецким ученым Гауссом, теорему, определяющую поток вектора напряженности электрического поля, сквозь произвольно замкнутую поверхность Ф_Е=Этот результат справедлив для замкнутой поверхности любой формы. Если замкнутая поверхность произвольной формы охватывает заряд, то при пересечении любой выбранной линии напряженности с поверхностью она то входит в неё, то выходит из неё. Нечетное число пересечений при вычислении потока сводится к одному пересечению. Ф_Е=.

Теорема Гаусса. -теорема Гаусса для электростатического поля в вакууме: поток вектора напряженности электростатического поля в вакууме сквозь произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме, заключенных внутри этой поверхности зарядов деленной на ε₀. Это теорема выведена математически для векторного поля любой природы русским математиком Остроградским, а затем независимо от него применительно к электростатическому полю – Гауссом.

Работа электростатического поля. dA=Fdlcosα A=∫dA=работа перемещения электрического заряда в электростатическом поле не зависит от формы пути. Определяется лишь начальным и конечным положениями перемещаемого заряда. Электростатическое поле потенциально. А₁₂₃=А₁₄₂А₂₄₁= -А₁₄₂А₁₃₂₄₁=0q₁=1F=Eq₁=E dA=Edl=Edlcosα N=∫E_ndS=∑q_i/ε_{0 .}

Циркуляция вектора напряженности. Если в электростатическом поле точечного заряда из точки 1 в точку 2 вдоль произвольной траектории перемещается другой точечный заряд, то сила, приложенная к заряду совершает работуdA=Fdl=Fdlcosα==.A₁₂=если в качестве зарядов переносимых электростатическим полем взять единичный точечный полож заряд, то элементарная работа сил поля на путиdl равна Edl=E_ldl- циркуляция вектора напряженности.

Потенциал. Связь потенциала с напряженностью электростатического поля. dA=-dW_n W_n=qq₁/4πε₀r₁ W_n2=qq₁/4πε₀r₂ W_n/q₁=φ A=q₁(φ₁-φ₂) A=A_∞=qφ φ= A_∞/q₁ - потенциал численно равен работе перемещения заряда из данной точки в бесконечность, совершаемой электростатическим полем.dA=-dW_n dA= q(φ₁-φ₂)=q[φ-(φ+dφ)]=-qdφdA=Fdr=Eqdr Edr=-dφ E=-dφ/dr=-gradφ градиентом скалярной величины наз-ся вектор, численно равный быстроте изменения скалярной величины в направлении наибольшего изменения этой величины.φ=kq/r E=kq/r².

Применение т. Гаусса. Е=F/q₀. Е=∑Е_i N=∑q₀/ε₀1.Эл поле бесконечной равномерно заряж поверхности. Построим вспомогательную цилиндрическую поверхность, так чтобы т.А находилась в основании цил пов-ти, а образующие цид-ра ║ линиям напряженности эл поля.N=∫dN= ∫E_ndS_бок+2∫E_ndS_осн E_ndS_бок=Ecos(π/2)dS_бок=0 N=2ES_осн= ∑q₀/ε₀ E=q/2ε₀S=σ/2ε₀-определяется напряженность поля бесконечной равномерно заряж пов-ти. Напряженность поля б.р.з.п. не зависит от расстоянияE≠f(r)это поле однордно.Если размеры соизмеримы с расстоянием, тоE=f(r) ρ>>размеры пов-ти,Е ~1/r² 2.Напряженность поля м/у бесконечными разноименно заряж поверхностями с плотностями одинаковыми по модулю( плоский конденсатор)| Е₊|=|Е_-| Е_вне=0 Е_м/у=Е₊+Е_-=2Е₊=2 σ/2ε₀= σ/ε₀(1) Эл поле охвачено внутри конденсатора, а вне конденсатора отсутствует. Из (1) следует, что Е поля м/у обкладками не яв-ся функцией расстояния м/у обкладками конденсатора. Поле бесконечно-плоского конденсатора однородно. Если размеры пластин соизиеримы с расстоянием м/у обкладками, то на краях конденсатора однородность поля нарушается. 3.напряженность поля бесконечного равномерно заряж цилиндра.τ=q/l N=∫dN_бок+∫2dN_осн=∫EndS_бок+∫2Е_ndS_осн=Е2πrhПо т ГауссаN= q/ε₀ = Е2πrh

E=q/ε₀2πrh =τ/2ε₀πrh Из этого следует, что напряженность поля б.р.з.ц. зависит от расстояния. 4.Эл поле заряженной сферической пов-ти N=∫dN==E4πr²= q/ε₀ E=q/4πε₀r² –напряженность поля з.с.ф. так же как и для точечного заряда. 5.Напряженность поля равномерно заряж шара.q/q^/=R³/r³ N=∫dN=E_nS^/= E4πr²=q^//ε₀ E=q^//4πε₀r²=qr³/4πε₀r³R³=qr/4πε₀R²