§5 Объём и ориентированный объем системы векторов

1°. Объём системы векторов.

Ранее в произвольном евклидовом пространстве было определено понятие длины вектора. Теперь определим понятия площади и объёма.

Пусть на плоскости заданы два неколлинеарных вектора и . Пусть и опущен из конца вектора на . Тогда площадь параллелограмма, построенного на векторах и , определяется формулой

.

Пусть – нулевое подпространство, – линейная оболочка .

Так как ,

.

Аналогично, если , , – три некомпланарных вектора

– объём параллелепипеда

определяется формулой

= где – линейная оболочка .

Аналогично вводится объём системы произвольного числа векторов в –мерном евклидовом пространстве E.

Определение 1. Объёмом системы векторов евклидова пространства E называется величина

(1)

Свойства:

1°. , причём =0 – линейно зависимы.

Доказательство: следует из (1). Докажем вторую часть. Пусть – линейно зависимы. Если //по определению 1// . Если , то некоторый вектор линейно выражается через предшествующие . Обратно, пусть один из сомножителей равен 0, например –ый. Если вектора линейно зависимы. Если =0 – линейная комбинация все векторы линейно зависимы.

2°. Справедливо неравенство Адамара.

,

(2)

причём равенство имеет место либо – ортогональны, либо содержат нулевой вектор.

Доказательство: Согласно свойствам перпендикуляра и проекции справедливо

,

(3)

причём равенство выполняется , т.е. ортогонален .

Перемножим все неравенства (3), получим (2). Очевидно, что если все – ненулевые, то неравенство обращается в равенство лишь, если система ортогональна.

3°. Если – нормированы, то из (2)

.

Если – нормированы и они ортогональны.

Вычисление объёма проиллюстрируем для .

Тогда (Умножая на )

– определитель матрицы Грама.

Аналогично

(4)

Пусть – произвольный базис, а – матрица из координатных столбцов векторов в этом базисе. Эта матрица – матрица перехода от к . Поэтому . Отсюда в силу (4)

(5)

В частности, для ортонормированного базиса e

.

2°. Ортогональные матрицы.

Ранее было показано, что если даны два базиса и , связанные формулами перехода , то матрицы Грама связаны формулами (§3, п.3)

(6)

Пусть оба базиса ортонормированны т.е. – единичная матрица. Тогда формула (6) принимает вид

.

(6)

Определение 2. Матрица, удовлетворяющая условию (7), называется ортогональной.

Из определения видно, что ортогональные матрицы, и только они могут служить матрицами перехода от одного ортонормированного базиса к другому.

Равенство (7) равносильно

.

Отсюда следует, что матрица тоже будет ортогональной. Вычисляя определитель от (7), имеем

,

т.е. определитель ортогональной матрицы равен .

Множество ортогональных матриц обозначается , множество ортогональных матриц с определителем единица обозначается и называется множеством матриц вращения.