Лекция 16. Теория массового обслуживания

АВГ17

Мы уже рассказывали в наших статьях о методах имитационного моделирования, которые можно с успехом применять для анализа работы банковских отделений. А сегодня мы, как раз, поговорим о том, как можно описать работу банковского отделения при помощи математики и какую пользу из этого можно извлечь.

Что такое теория массового обслуживания?

Процессы обслуживания потока клиентов изучает раздел математики, находящейся на стыке теории вероятностей и исследования операций, называемый теорией массового обслуживания (ТМО). Интересно, что в англоязычной терминологии название этого раздела математики звучит как «Queueing theory», то есть «теория очередей». Это показывает, что ее основная цель (подобно нашей) – борьба с очередями.

Круг задач, составляющий интересы этой теории, на первый взгляд, очень разнообразен. Например, ТМО изучает обслуживание станков рабочими на заводах; функционирование магазинов, касс в супермаркетах и бензозаправок; передвижение машин по системе дорог; поток программ в вычислительных системах; и, конечно же, работу банковских отделений.

Суть в том, что все эти задачи после математический формализации становятся очень похожими – и это крайне удобно. Поэтому достаточно рассмотреть работу банковского отделения или, например, телефонной станции, а затем можно с легкостью перенести эти результаты на проблему обслуживания клиентов в супермаркете.

Как это работает

Схему работы ТМО можно описать следующим образом:

Вначале нам нужна информация о случайных процессах, происходящих в отделении: о потоке клиентов и о времени выполнения сотрудниками различных операций. Такую информацию можно извлечь из электронной очереди или транзакционных систем.

Далее мы проводим достаточно сложные расчеты и на выходе получаем подробные сведения о работе сотрудников и ожидании клиентов в очереди. А это весьма полезная информация, которой позволяет понять, насколько хорошо работает отделение.

Рассмотрим теперь простой пример для иллюстрации использования ТМО.

Математика расскажет, насколько эффективно работает отделение

Давайте представим себе банковское отделение, в котором работают 3 операциониста, которые выполняют  только одну операцию. К ним направляется поток клиентов по распределению Пуассона с параметром λ = 1. Этот закон описывает вероятность возникновения n событий за некоторый промежуток времени и очень хорошо подходит для моделирования входящего в отделение потока клиентов; параметр λ показывает, сколько в среднем клиентов будет входить за этот промежуток времени.

Предположим, что клиентов обслуживают согласно показательному распределению вида:

По этой формуле рассчитывается вероятность, что клиент будет обслужен за время x, при этом в среднем сотрудник выполняет операцию за 2 минуты.

Если в момент прихода клиента есть хотя бы один свободный сотрудник, то клиент отправляется к нему на обслуживание. Если же все операционисты заняты, то клиенты становится в очередь за всеми клиентами, пришедшими ранее.

После применения методов ТМО к нашим входным параметрам мы получим, что вероятность ожидания клиента более времени t вычисляется по формуле:

Графически ее можно отобразить так:

А чтобы узнать, какова вероятность что новый клиент будет ждать в очереди больше определенного периода времени, необходимо просто подставить в формулу соответствующее значение t в минутах. Например, вероятность, что клиент будет ожидать более одной минуты равна 40%, больше двух – 25%, больше 5 – 6%.

Итак, теперь мы знаем, как именно ожидают клиенты в отделении. Более того, мы можем легко спрогнозировать, что произойдет, если, например, подключить к обслуживанию нового сотрудника или обучить операционистов работать быстрее, так как, на самом деле, задачи при помощи ТМО решаются в общем виде (то есть вместо конкретных значений – работают три операциониста, приходит в среднем один клиент в минуту и т.д. – мы оперируем численными переменными – параметрами распределений, например, λ, количеством сотрудников m).

Напоследок отметим, что если считать количество клиентов в очереди через средние значения, то получится, что в данном отделении очередей вообще нет: если есть три операциониста, каждый из которых обслуживает одного клиента раз в две минуты, то есть за минуту в среднем обслуживают 1.5 клиента, а поток клиентов в среднем – 1 клиент в минуту, то так как 1.5 > 1, то вроде как выходит, что операционисты успевают обслужить всех входящих клиентов. А на самом деле, большую часть рабочего времени в отделении будет очередь.

Заключение

В рассмотренном нами примере все довольно просто – поток клиентов неизменен в течение дня, сотрудники выполняют только одну операцию, причем их работа описывается очень простым математическим законом. Но даже такие системы массового обслуживания встречаются в реальной жизни (например, автомойки). А в банковских отделениях все намного сложнее и математические вычисления становятся действительно нетривиальными. Но именно с помощью таких сложных расчетов можно существенно повысить эффективность и скорость работы отделения.