П.Г.Фрик - Турбулентность модели и подходы, часть 1

21

1.2 Устойчивостьтечений

Вопрос об устойчивости того или иного состояния (реш ения, режима) возникает в самых разных задачах. Достаточно вспомнить простейш ий пример об устойчивости ш арика, лежащ его на различных поверхностях (рис.1.7). В первом случае положение ш арика абсолютно устойчиво, то есть при любом конечном воздействии ш арик по окончании действия возму-

ùаю щ ей силы возвращ ается в исходноесостояние. Во втором случае положение ш арика абсолю тно неустойчиво - любое, сколь угодно малое возму-

ùение, безвозвратно уводит его из начального положения. Третий случай иллю стрирует пример состояния, устойчивого по отнош ению к малым возмущ ениям, но наруш аю щ е- гося, если возмущ ения превышаю т критическую вели- чину.

Íас интересует вопрос

об устойчивости стационарных течений. Для конкретности будем говорить о те- чении П уазейля. Возмущ е-

ния в реальных течениях сущ ествую т всегда. И х источником служат ш ероховатости стенок, входные участки (бесконечных труб нет), просто флуктуации характеристик самой жидкости и т.д. Н ужно ответить на вопрос о том, какое возмущ ение является самым опасным и где та граница, при превышении которой это возмущ ение приведет к разруш ению сущ ествую щ его течения.

И так, имеем течение несжимаемой жидкости, для которой запиш ем уравнения Н авье-Стокса в безразмерной форме(1.14)

Стационарное реш ение задачи (имеем в виду течениеП уазейля, хотя до определенного этапа все рассуждения не зависят от конкретного вида реш ения) обозначим как v0 , P0 . Это реш ение, в свою очередь, удовлетворя-

етуравнениям

22

Ïоляскорости и давления представим в видесумм стационарных ре-

øений и возмущ ений

Отметим, что в отличие от исследуемого стационарного реш ения, слагаемые со ш трихами описываю т возмущ ения, которые могут зависеть от времени и от всех координат. Введенные разложения подставляю тся в исходные уравнения

и, после вычитания из них уравнений для стационарных реш ений (1.15), получаем

Н аибольш ие трудности в реш ении этих уравнений представляет нелинейное по искомым возмущ ениям слагаемое (v Ñ )v . Следую щ ий, принципиальный ш аг состоит в том, что это слагаемое отбрасывается. Тем самым мы ограничиваем себя рамками линейной теории устойчивости, рассматриваю щ ей эволю цию малыхвозмущ ений. Это значит, что

| v | << | v0 | .

Линейная теория работает только вблизи порога возникновения неустойчивости. П о прохождению порога, возмущ ения нарастаю т и линейные уравнения перестаю т работать. Тем неменее, поставленная задача при этом может считаться выполненной, так как требовалось указать именно сам порог и наиболееопасныевозмущ ения, которые начинаю т нарастать в первую очередь.

Отказавш ись от написания ш трихов, мы придем к системеуравнений, которую необходимо дополнить граничными условиями для возмущ ений. Н апример, можно предположить, что на границах возмущ ения равны нулю .

24

несжимаемой жидкости. Следую щ ий ш аг также является общ епринятым - для того, чтобы избавиться от давления и получить одно уравнение для функции тока, необходимо второе уравнение продифференцировать по координате x и вычесть изнего первое, продифференцированное по координате z . Результирую щ ееуравнение есть

Сокращ ая подобные члены и учитывая, что ¶v0 ¶x = 0 , приходим к уравнению

которое дополняетсяграничными условиями для функции тока:

ïðè z = ±1: ¶ψ = ¶ψ = 0

¶x ¶z

Н апомним, что функция тока введена для возмущ ений поля скорости, возникаю щ их на фонестационарного течения v0 . Ш трихами обозначено диф-

ференцирование по вертикальной координате z .

П олученное уравнение (1.20) можно реш ать численно, задавая различные начальные возмущ ения и наблюдая за их эволю цией при различ- ных числах Рейнольдса. Этот путь не снимает, однако, вопроса о выборе вида возмущ ений. Следуя обычному для теории устойчивости способу, будем рассматривать нормальныевозмущ ения, то есть возмущ ения вида

25

число). Частота является величиной комплексной: ω = a + ib , что позволяет переписать выражение для нормальных возмущ ений в виде

ψ (x, z,t )ϕ (z)ei(ω t − kx ) = ϕ (z)e− bt ei(at − kx ) .

Характер эволю ции колебаний во времени определяется мнимой ча- стью частоты: если b > 0 , то возмущ ения убываютсо временем, аесли b < 0 , то возмущ ения нарастаю т (см. рис.1.8). И менно знак величины b и интересен с точки зрения вопроса об устойчивости течения. Требуется узнать, при каком значении числа Рейнольдса появляетсяреш ение с отрицательным b и какоеволновое число k соответствует этому реш ению .

Возмущ ения в нормальной форме подставляются теперь в уравнение для функции тока. Соответствую щ ие производные определяю тся формулами:

П осле подстановки получаем

а после деления на ik и добавления граничных условий приходим к окон- чательной форме уравнения, называемого уравнением Орра-Зоммерфельда (1937г.):

Задача остается чрезвычайно сложной и впервые для плоского слоя была реш ена только в 1945 г. Линем. П оучительна история реш ения этого уравнения. П ервые подходы были связаны с попытками реш ать уравнение Орра-Зоммерфельда с отброш енной правой частью . Соответствую щ ее

27

ние дает вода в интервале от 0 до 4î С). Считаем, что неоднородность температуры являетсяединственным источником движения и что

Dρ << ρ ,

т.е. рассматривается слабая конвекция. В уравнении движения появляетсяслагаемое, описываю щ еедействие силы тяжести

и нужно учесть изменения плотности. П оследняя в общ ем случае есть функция температуры и давления ρ = ρ(T , P), а приращ ение плотности есть

Далееделается важное ограничение, состоящ еев том, что рассматривается несжимаемая жидкость, означаю щ ее что вторым слагаемым в этом равенстве можно пренебречь. Таким образом, полагается, что плотностьзависит только от температуры: ρ = ρ(T ), а приращ ение плотности есть

( Dρ << ρ ). П лотность представляется, соответственно, в виде ρ = ρ0 + ρ (T ) , ãäå ρ0 - плотностьжидкости при температуре T0 . И зсказанного вышеследует, что

Вспомним, что для воды β = 2 ×10− 4 , и следовательно приближение годится

29

и считая третье слагаемое пренебрежимо малым (это логично сделать, так как зависимостью плотности от давления уже пренебрегли), приходим к соотнош ению

П одставляя в уравнение для энтропии и ограничиваясь членами, линейными по T , получаем

Далее, откажемся от написания ш трихов (незабывая при этом, что температура отсчитывается от среднего значения, а давление - от гидростатиче- ского давления) и запиш ем результат - систему уравнений для термогравитационной конвекции несжимаемой жидкости в приближении Буссинеска

χ = κ / ρc p . Систему необходимо дополнить граничными условиями. Для скорости можно принять, например, условия прилипания ( v |Ã = 0 ), а для температуры - либо задать ее распределение на границе (T | Ã = f1 (Ã) ), либо теплопоток через границу

¶T

¶n Ã

= f2 ( Ã) .

Обсудим возможные способы представления уравнений свободной конвекции в безразмерной форме. Особенностью конвективных задач является отсутствие заданной характерной скорости - скорость есть результат приложенной (заданной) разности температуры. Возможный набор единиц измерения есть: расстояния - характерный размер L , температуры - характерная разность температур θ , скорости - величина ν L , времени - L2 ν è

давления - ρ0ν 2 L2 . П ереходя к безразмерным величинам, получаем систему уравнений

30

В уравнения входят два безразмерных комплекса: число Грассхофа

G =

gβϑL3

ν 2

и число П рандтля

σ = ν .

χ

Число Грассхофа характеризует отнош ение архимедовых сил к вязким и свидетельствуето сильной зависимости конвективных механизмов от размера (в число Грассхофа размер входит в кубе). В отличие от числа Грассхофа, число П рандтля есть физический параметр жидкости, не зависящ ий от конкретной задачи, и характеризую щ ий отнош ение коэффициентов кинематической вязкости и температуропроводности. П риведем несколько типичных примеров значений числа П рандтля. Для газов число П рандтля порядка единицы, у воды σ » 7 , у ртути σ »10− 2 , у глицерина - σ »103 . В жидкостях с малым числом П рандтля теплопередача эффективней конвекции и наоборот, при высоких П рандтлях температура «вморожена» в жидкостьи перенос тепла за счет конвекции становится более эффективен, чем теплопередача.

Н аряду с двумя введенными безразмерными параметрами, в конвективных задачах часто используется число Релея, являю щ ееся произведением чисел П рандтля и Грассхофа

Ra = σG = gβϑL3 .

νχ

Если за единицу скорости взять величину χ L , оставив всеостальныеединицы измерения прежними, то мы придем к системе уравнений, содержа- щ ей число Релея