П.Г.Фрик - Турбулентность модели и подходы, часть 1

2

ÓÄÊ 532.517.4

Турбулентность: модели и подходы. Курс лекций. Часть I /

Ï.Ã.Ô ðèê; Ï åðì. ãîñ. òåõí. óí-ò. Ï åðìü, 1998. 108 ñ.

Ïервая часть курса лекций вклю чает в себя введение и три из семи разделов курса «Турбулентность: модели и подходы». П ервый раздел содержит базовые сведения из механики жидкости, необходимые для дальнейш его изложения. Второй посвящ ен вопросам, связанным со стохастиче- ским поведением маломодовых систем гидродинамического типа. В третьем разделе выводятся уравнения для статистических моментов пульсаций скорости и дается краткий обзор моделей, используемых для их замыкания.

Для студентов и аспирантов физико-математических специальностей. И л.64. Библиогр. 12 назв.

ISBN

© П ермский государственный технический университет,

1998

3

4

ВВЕДЕН И Е

Турбулентность остается одним из наиболее сложных объектов исследования механики жидкости и газа. За почти столетню ю историю ее изучения предложены десятки различных подходов, почти всегда отражаю щ ие наиболееактивно развиваемые перспективные направления математики и физики соответствую щ его периода времени. Статистическая физика и теория вероятности, теория размерности, фурье анализ и прямые численныеметоды, теория динамических систем, теория фракталов и вейв- лет-анализ- вот далеко не полный перечень областей науки, которые давали основные идеи исследователям турбулентности.

Теория турбулентности далека от своего заверш ения. П родолжаю т появлятсяи всеновые подходы кееизучению . Растетчисло моделей, предлагаемых для лучш его понимания отдельныхеесвойств. Дать представление об основных идеях, движущ их этот процесс, продемонстрировать возможности различных подходов и показать проблемы, ими не разреш енные, представить современные модели, не вош едш ие ещ е в учебники и не став- ш ие хрестоматийными - вот цель предлагаемого курса лекций.

Курс предназначен для студентов специальности "прикладная математика", ориентирую щ ихся на работу в научно-исследовательских учреждениях и на кафедрах, в особенности тех, что связаны с реш ением задач механики жидкости и газа. В то же время, в курсе рассматриваю тся и общ ие подходы к моделированию сложных динамических систем, которые могут быть полезными специалистам, занимаю щ имся моделированием самых различных (и нетолько механических) систем и явлений. Курс рассчитан на студентов, получивш их ш ирокую базовую подготовку по основным математичеким дисциплинам, вклю чая методы математической физики, функциональный анализ и теорию вероятности, а также прослуш авш их спецкурсы по механике (механику сплош ных сред, теорию определяю щ их соотнош ений).

Курс лекций состоит из двух частей. В первую часть вклю чены три главы, вклю чаю щ ие в основном сведения, которыеможно найти в различ- ных учебниках и монографиях, но собранные воедино и изложенныевсвете задач, обсуждаемых в этом курсе. Вторая часть содержит результаты, которые, заредким исклю чением, не вош ли ещ е в книги и могут быть найдены только в оригинальных статьях.

П ервая глава содержит базовыесведения по динамике несжимаемых жидкостей, вклю чая вывод уравнений движения для идеальной и вязкой жидкости и примеры задач, имею щ их точные реш ения. Даны основы тео-

5

рии устойчивости, имею щ ей важнейш еезначение в понимании проблем перехода от ламинарных течений к турбулентным. П одробно обсуждаются две задачи : устойчивость плоского течений П уазейля (задача ОрраЗоммерфельда) и задача Релея о конвективной устойчивости подогреваемого снизу горизонтального слоя несжимаемой жидкости. П оследняя зада- ча предворяется выводом уравнений свободной конвекции в приближении Буссинеска и обсуждением необходимых условий устойчивости неоднородно нагретой жидкости, находящ ейся в поле сил тяжести. Особое внимание уделяется вопросу о безразмерном представлении уравнений движения, о законах подобия и о безразмерных параметрах и их роли в описании процессов перехода к хаотическому поведению . Глава заканчиваетсявыводом маломодовой модели конвекции (модель Лоренца). Этот вывод имеет методическую цель - показать и обсудить проблему проектирования нелинейных уравнений движения на конечномерный базис и переход от уравнений в частных производных к обыкновенным дифференциальным уравнениям. В то же время подробный вывод модели полезен, так как полученная система уравнений ш ироко используетсявследую щ ей главе, где подробно обсуждаю тсяеесвойства.

Значительный прогресс в понимании природы и свойств турбулентности произош ел в последние десятилетия благодаря успехам теории динамических систем, позволивш им понять как хаотическое поведение возникает в детерминированных системах. Этим результатам посвящ ена вторая глава, в которой приводятся базовые сведения из теории динамических систем и обсуждаю тсянекоторые приложения. Вводитсяпонятие фазового пространства и даны примеры фазовых портретов некоторых простых динамических систем. Обсуждаются особенности эволю ции консервативных и диссипативных систем. Для диссипативных систем вводится понятие аттрактора, обсуждаются свойства аттракторов стохастических систем. И з- лагаютсякраткие сведения из теории фракталов, даетсяпонятие обобщ енной размерности и описаны алгоритмы определения размерности аттракторов стохастических систем. Даны основы теории бифуркаций, рассмотрены некоторыеметоды исследования перехода к хаосу и характреистики динамических систем при периодическом и хаотическом поведении (сече- ния П уанкаре, показатели Ляпунова, энтропия Колмогорова, спектры Ф у- рье). Описаны и обсуждены основныесценарии перехода от порядка к хаосу: сценарий Ландау, сценарий Рю эля и Таккенса, субгармонический каскад. В заклю чение главы рассматриваются примеры гидродинамических систем, демонстрирую щ их хаотическое поведение. П роведен подробный анализповедения модели Лоренца, уравнения которой выведены в первой главе. Рассмотрена также простейш ая модель генерации магнитного поля Земли (динамо Рикитаки), воспроизводящ ая эффект случайных перебросов направления магнитного поля. П оказаны и обсуждены также результаты

6

экспериментального наблю дения хаотизации конвективного течения в замкнутой полости.

В третьей главе начинается знакомство с методами описания развитой турбулентности, а именно, с исторически первым и наиболееразвитым подходом к описанию турбулентных потоков. Это подход Рейнольдса и выросш ие из него многочисленные полуэмпирические модели турбулентности. Н ачинается глава с определения статистических моментов случайных полей, характеризую щ их турбулентный поток. Далеедан вывод уравнения Рейнольдса для средних полей и обсуждаются вопросы, связанныес появлением в уравнениях тензора напряжений Рейнольдса. П оказано, как получается цепочка уравнений Ф ридмана-Келлера и формулируется проблема замыкания. Разговор о путях реш ения этой проблемы начинается с описаниягипотезы Буссинеска для тензора напряжений, определения понятия турбулентной вязкости, описания и обсуждения модели пути смеш ения П рандтля. В последую щ их параграфах рассмотрены более сложные модели: модели переноса турбулентной вязкости и двухпараметрическиемодели типа k − ε модели. П олуэмпирическим моделям в предлагаемом курсе лекций уделено сравнительно скромное место по двум причинам. Во-первых, именно этот подход наиболее полно освещ ен в литературе и может быть свободно изучен по учебникам. Во-вторых, основной целью данного курса является знакомство с методами изучения свойств мелкомасш табной турбулентности (однородной изотропной турбулентности), которая как рази остается за полем зрения полуэмпирических моделей. П оэтому описание этих подходов необходимо только для общ его знакомства с идеологией метода, даю щ его возможность ссылаться на него в дальнейш ем и проводить необходимыесравнения.

8

П равая часть равенства преобразуется по теореме ОстроградскогоГаусса

а так как равенство должно быть справедливо для любого объема, то подынтегральное выражение должно удовлетворять уравнению

¶t

которое называют уравнением непрерывности (неразрывности). Для несжимаемой жидкости плотность есть величина постоянная ( ρ = const ) и уравнение (1.1) упрощ ается:

1.1.2 И деальная жидкость

Уравнения для скорости выведем сначала для идеальной жидкости. И деальная жидкостьэто жидкостьбез вязкости и теплопроводности.

Закон сохранения импульса для движущ егося жидкого объемаесть

где в правой части стоит сумма всех сил, действую щ их на выделенный объем. Ограничиваясь рассмотрением силы тяжести и сил давления, запи- ш ем

9

Учитывая, что òddtρ dV º 0 (интеграл берется по жидкой частице, то

есть по заданному количеству жидкости, а не по заданному объему), можно переписать уравнение в виде

и, снова исходя изпроизвольного выбора объема частицы, перейти к дифференциальной форме

производная, которая описывает изменение скорости жидкой частицы. Рассмотрение движения отдельных жидких частиц называется подходом Лагранжа к описанию движения жидкости. В больш инстве случаев предпочтительным является подход Эйлера, который заклю чается в описании характеристик жидкости в заданной точке. Чтобы получить уравнение движения в форме Эйлера, нужно получить связь между субстанциональной и локальной производными. Запиш ем приращ ение скорости

и получим изнего связь субстанциональной (полной) производной по времени с частной производную скорости по времени (изменение скорости в заданной точке)

èëè

И спользуя полученное соотнош ение, приходим к уравнению Эйлера, полученному им ещ е в 1755 г.: