Модель.

В процессе моделирования старта ракеты с поверхности планеты были использованы следующие допуски и приближения:

• Планета считается идеально круглой, т.е. ее радиус постоянен.

• Ракета состоит из полезной нагрузки и топлива.

• На ракету действуют только две силы: сила притяжения планеты и сила реактивной тяги; силы трения, силы, возникающие за счет вращения планеты, не учитываются.

Пусть моментальная масса ракеты – m.

При описанных допущениях и при учете (15) уравнение движения (7) приобретет следующий вид:

(18).

Зависимость расхода топлива от времени имеет следующий вид: в начале , потом при достижении величиной некоторой критической величины снижается для поддержания постоянным и равным упомянутому максимальному ускорению.

Обозначим массу полезной нагрузки за m_н, а массу топлива – за m_т. При таких условиях формула (10) может быть преобразована к виду

(19).

Формула (19) показывает, какое количество топлива необходимо для придания известной полезной нагрузке конечной скорости v в отсутсвие внешних сил. Как легко заметить, это количество топлива при фиксированных полезной нагрузке и конечной скорости зависит только о скорости истечения газов относительно ракеты u’. В описываемой модели (19) можно использовать для оценки минимального количества топлива, необходимого для набора ракетой второй космической скорости.

Моделирование полета производится дважды. Первичное моделирование осуществляется с достаточно малым числом шагов методом Эйлера. Цель этого моделирование – определение приблизительных конечных параметров, это необходимо для дальнейшего построения графиков, для определения их границ. Второе, основное, моделирование ведется с достаточно малым шагом методом Рунге-Кутта четвертого порядка. Численные значения величин и их графики выводятся на экран по ходу расчета.

Анализ результатов.

В качестве небесных тел, с которых производилось моделирование старта ракеты, использовались планеты солнечной системы и спутник Земли – Луна. В таблице 1 приведены параметры этих небесных тел и некоторые связанные с ними величины (использованы источники [2] и [3]).

Таблица 1:	Некоторые параметры планет Солнечной системы.
Планета	Радиус, км.	Масса, кг.	V2k, км/с.	Mтт, т.
Меркурий	2440	3.3 * 1023	4.2	9.3
Венера	6050	4.9 * 1024	10.4	62.3
Земля	6370	6.0 * 1024	11.2	77.2
Луна*	1740	7.4 * 1022	2.4	4.1
Марс	3390	6.4 * 1023	5.0	12.5
Юпитер	71400	1.9 * 1027	59.6	14.8*106
Сатурн	60330	3.7 * 1026	28.6	6366
Уран	26700	8.1 * 1025	20.1	756
Нептун	25000	1.0 * 1026	23.1	1606
Плутон	1270	1.4 * 1022	1.2	1.75
* Луна, как уже было упомянуто, не является панетой Солнечной системы.

В графе “V_2k, км/с.” указана вторая космическая скорость на поверхности планеты, рассчитанная по формуле (17). В графе “ M_тт, т.” указано количества топлива в тоннах, которое нужно затратить, чтобы в отсутствие внешних сил придать полезной нагрузке массы 5 тонн вторую космическую скорость, характерную для данной планеты, при условии, что скорость истечения газов – 4 км/с. Рассчет производился по формуле (19).

Уже в указанном приближении (т.е. без рассмотрения силы тяжести планеты) очевидно, что практическое использование двигателя со скоростью истечения газов 4 км/с для придания ракете второй космической скорости возможно лишь при достаточно небольшом отношении , при старте с планет-гигантов Солнечной системы (Юпитер – Нептун) необходимо использовать двигатель с большей скоростью оброса газов.

Рассмотрим теперь моделирование страта ракеты при учете силы тяжести планеты. Тогда движение описывается формулой (18). Т.к ускорение ракеты зависит от ее массы, расхода топлива и силы тяжести, которая в свою очередь зависит от высоты, рассчет конечной скорости ракеты достаточно сложен аналитически, поэтому результаты получены с помощью моделирование с численным интегрированием.

Если расход топлива постоянен, то ускорение ракеты будет расти из-за уменьшения ее массы и уменьшения силы тяжести за счет удаления от планеты (это следует из формулы (18)). Но слишком большое ускорение может повредить как живым существам, которые могут составлять полезную нагрузку, так и аппаратам, находящимся в ней. Поэтому в модели действует система ограничения ускорения (подробнее см. пункт модель).

Рассмотрим следующий конкретный пример: старт ракеты с Земли и набор ею второй космической скорости. Параметры ракеты таковы: масса полезной нагрузки m_п = 5 т., масса топлива m_т = 100т. Параметры двигателя: скорость отброса газов u’ = 4 км/с., расход топлива на старте  = 1т/с., ограничение ускорения а_кр = 50 м/с²5g. После проведения моделирования программа отбразит его результаты, см рис. 2.

На графиках отображены высота, скорость, ускорение и расход топлива ракетой. Верхняя линия на графике скорости – вторая космическая скорость в данный момент времени. Как легко заметить, полет делится на две стадии, обозначенные на графиках буквами А и Б. А – полет с постоянным расходом топлива; ускорение, скорость и высота растут довольно сложным образом. Б – полет с постоянным ускорением; ускорение постоянно, скорость растет линейно, а высота – параболически.

В данном примере вторая космическая скорость достигнута (см. рис. 2) и даже несколько превышена.

В таблице 2 приведены ориентировочные массы топлива, необходимые ля придания полезной нагрузке 5 тонн второй космической скорости для тех планет, для которых это реально со следующими параметрами двигателя: скорость отброса газов – 4 км/с, ограничение ускорения 50 м/с².

Таблица 2:	Необходимые запасы топлива для разгона до v2k
Планета	V2k, км/с.	Mтт, т.	V2kk, км/с	Mтр, т.
Меркурий	4.2	9.3	4.1	10
Венера	10.4	62.3	9.7	80
Земля	11.2	77.2	10.4	100
Луна*	2.4	4.1	2.3	4.25
Марс	5.0	12.5	4.8	14
Плутон	1.2	1.75	1.2	1.80

Графа “ V_2k ” – вторая космическая скорость на поверхности планеты; графа “M_тт“ – количество топлива, которое надо затратить на разгон в отсутствие внешних сил; графа “ V_2kk ” - вторая космическая скорость на высоте ее достижения; графа “ M_тр ” – количество топлива, реально требуемое для разгона в условиях данной модели.

Для набора второй космической скорости при старте, например, с Юпитера, необходим двигатель со скоростью отброса газов поряка 20 км/с. Для Сатурна, Урана и Нептуна соответствующая скорость должна быть порядка 10 км/с. Данные для данных случаев приведены в таблце 3.

Таблица 3:	Необходимые запасы топлива для разгона до v2k
Планета	V2k, км/с.	u', км/с.	Mтт, т.	Mтр, т.
Юпитер	59.6	20	94	175
Сатурн	28.6	10	82	110
Уран	20.1	10	32	40
Нептун	23.1	10	45	60

В графе “ V_2k ” указана вторая космическая скорость на поверхности планеты; в графе “u’” – скорость отброса газов, в графе “M_тт“ – количество топлива, которое надо затратить на разгон в отсутствие внешних сил; в графе “M_тр ” – количество топлива, реально требуемое для разгона в условиях данной модели.

В настоящее время скорость отброса газов двигателем ограничена примерно 4 – 5 км/с. Из таблицы 2 следует то, что для Земли разгон ракеты до второй космической скорости является вполне возможным на данном техническом уровне.