Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова, физический факультет.
Реактивное движение
курсовая работа по курсу
компьютерные методы физики студента 214 группы
Пяткина Юрия Константиновича.
Преподаватель –
Шленов Святослав Александрович.
Москва, 2003.
В данной курсовой работе рассматривается конкретный случай реактивного движения – старт ракеты с поверхности планеты и набор (или не набор) ею второй космической скорости. Рассмотрение этого процесса производилось с помощью соответствующей программы, моделирующей его. В разделе теория рассмотрен принцип реактивного движения и необходимые формулы. В разделе модель рассмотрены используемые допуски, приближения и численные методы. В разделе анализ результатов представлены результаты, полученные в результате компьютерного моделирования, в том числе необходимые условия для придания фиксированной полезной нагрузке второй космической скорости при старте с различных тел Солнечной системы.
Теория.
Реактивное движение – движение тела переменной массы, где тяга создается в результате отброса части массы, принадлежащей телу.[1]
Рассмотрим конкретный случай реактивного движения – полет ракеты. Пусть в некоторый момент времени ракета имеет массу M(t) и скорость. Пусть ракета отбрасывает массу dM' со скоростью (см. рис. 1). Если dM’ – отбрасываемая масса, то dM – изменение массы ракеты. По закону сохранения массы
dM + dM’ = 0 (1).
Очевидно, что dM < 0, т.е. масса самой ракеты уменьшается. В момент времени t (до отброса части массы) полный импульс системы равен M. А в момент времени t + dt (после отброса части массы) он равен . По закону сохранения импульса получим
(2).
Перемножив скобки и отбросив член (в силу того, что он - бесконечно малый член второго порядка малости) получим следующее уравнение:
(3).
Учитывая закон сохранения массы (1) получим из (3) уравнение движения:
(4).
Если скорости и достаточно малы (т.е. существенно меньше скорости света), то можно воспользоваться приближением классической механики для :
(5),
где - скорость отброшенной массы относительно ракеты. Если подставить (5) в (4) и продифференцировать левую часть (4) по времени, получим уравнение
(6),
описывающее движение ракеты с нерелятивистскими скоростями в отсутствие внешних сил. Введя (т.е. расход топлива) и - совокупность внешних сил, действующих на ракету, – получим итоговое уравнение движения:
(7).
Рассмотрим теперь более конкретный случай: прямолинейное движение ракеты с постоянной скоростью отброса газов относительно нее , причем направлена так, чтобы ракета разгонялась. Предположим также, что на ракету не действуют внешние силы. Тогда уравнение движения принимает вид:
(8),
знак “-“ в правой части уравнения обусловлен тем, что при разгоне ракеты v и u’ противоположно направлены. Пусть v0 – скорость ракеты перед началом ускорения, а М0 – начальная масса ракеты. Если переписать уравнение (8) в виде
(9),
то, проинтегрировав (9), получим формулу, называемую формулой Циолковского:
(10).
Формула Циолковского может быть преобразована для определения конечной скорости ракеты:
(11).
Кроме того, для рассмотрения данной задачи необходимо ввести две физические характеристики места старта ракеты: ускорение свободного падения и вторая космическая скорость.
Ускорение свободного падения – ускорение, которое приобретает тело в поле силы тяжести данного небесного тела. Пусть небесное тело (для определенности – планета) обладает массой Mp и радиусом Rp. Согласно закону всемирного тяготения между планетой и телом массы m, находящимся от центра масс планеты на расстоянии x, возникает сила притяжения
(12),
где G = 6.67210-11 Нм2/кг2 – гравитационная постоянная. Согласно второму закону Ньютона действующая на тело массы m сила
(13).
Приравнивая правые части (12) и (13) и сокращая их на m, получим выражение для g:
(14).
Если h – высота тела над поверхностью планеты, то x=R+h. Таким образом, из (14) получим зависимость g от высоты h:
(15).
Вторая космическая скорость – скорость, которую необходимо придать телу, чтобы оно могло покинуть планету и удалиться от нее на бесконечно большое расстояние, т.е. скорость, при которой кинетическая энергия ракеты превысит потенциальную энергию ракеты, обеспечиваемую полем силы тяжести. Соответствующее равенство выражается формулой:
(16).
Сокращая правую и левую части (16) на m и учитывая выражение для g (15), получим формулу для второй космической скорости на высоте h:
(17).