II курс - курсовые / Движение зарядов во взаимном поле / 3 вариант / Zaryads / Электрический заря1

Аннотация

В работе рассматривается движение двух свободных точечных электрических зарядов, находящихся в вакууме. Эта задача является частным случаем задачи двух тел, хорошо известной и изученной в физике. Задача двух тел имеет аналитическое решение, которое приводится в данной работе для случая движения электрических зарядов. В работе анализируются траектории зарядов. Для тел, количеством более двух (задача n тел) аналитическое решение не найдено, выполнено только моделирование. Также в работе приводится один из методов численного моделирования задачи двух тел.

Электрический заряд.

Электрический заряд q наряду с массой m является важнейшей характеристикой частицы.

Поводом для этого является то обстоятельство, что заряд, как и масса, есть величина инвариантная, т.е. его значение не зависит от системы отсчета.

Существуют два вида электрических зарядов, которые мы условно делим на положительные и отрицательные. Законы физики не меняют своего вида при замене всех положительных зарядов на отрицательные и наоборот.

Для замкнутых систем частиц (систем, не обменивающихся зарядами с внешними телами) выполняется закон сохранения заряда: алгебраическая сумма электрических зарядов остается неизменной, какие бы процессы ни происходили бы внутри этой системы.

Электрический заряд дискретен, т.е. заряд любого тела составляет целое кратное от элементарного электрического заряда e. Электрон и протон являются соответственно носителями элементарных отрицательного и положительного зарядов.

Также как в механике существует абстрактное понятие материальной точки, в электричестве существует понятие точечного заряда. Точечный заряд – заряд, сосредоточенный на теле, линейные размеры которого пренебрежимо малы по сравнению с расстояниями до других заряженных тел, с которыми он взаимодействует.

Единица электрического заряда в системе СИ – кулон (Кл).

Один из важнейших законов физики - закон взаимодействия электрических зарядов - установил Шарль Кулон в XVIII веке. Закон Кулона гласит: сила взаимодействия F между двумя точечными зарядами, находящимися в вакууме, пропорциональна зарядам Q₁ и Q₂ и обратно пропорциональна квадрату расстояния r между ними:

,

где k=8.988*10⁹ Н*м²/Кл² коэффициент пропорциональности. Показатель степени 2 установлен в настоящее время с точностью 10^-16 .

Мы можем подобрать такую единицу измерения, чтобы постоянная k в формуле равнялась единице. И действительно, такая система единиц широко используется в физике (система СГС).

Потенциальная энергия взаимодействия двух точечных зарядов Q₁ иQ₂ выражается формулой

.

Задача двух тел.

Исследуем движение двух материальных точек с массами m₁ и m₂ и зарядами Q₁ иQ₂ соответственно. Потенциальная энергия взаимодействия U(r) = зависит только от расстояния между точками r, а внешние силы отсутствуют. Гравитационным взаимодействием точек мы пренебрежем (по сравнению с электрическим взаимодействием).

Запишем уравнения движения точек относительно инерциальной системы отсчета S:

,

, где r₁ и r₂ радиус-векторы точек 1 и 2 в системе координат S.

Один из векторных интегралов уравнений движения очевиден: ввиду отсутствия внешних сил центр масс системы движется относительно S равномерно и прямолинейно. Таким образом, скорость центра масс и его радиус вектор соответственно равны:

, ,

где r₁₀, r₂₀, V₁₀, V₂₀ – начальные положения и скорости соответствующих точек, .

Рассмотрим далее движение точек относительно поступательно движущейся системы центра масс S_m .Начало Sm находится в центре масс механической системы, а оси не изменяют своей ориентации относительно системы S. Поскольку центр масс системы движется равномерно и прямолинейно, система Sm инерциальная, следовательно, никаких сил инерции в рассматриваемой системе Sm не возникает.

, , , (i=1,2) где “нештрихованные” векторы относятся к системе S, а “штрихованные” к S_{m ,} r_m- вектор, проведенный из начала S в начало Sm. Уравнения движения в системе Sm запишутся в виде:

,

.

Однако положения точек 1 и 2 в системе Sm не являются независимыми. Из определения центра масс и определения системы Sm имеем: . Поэтому радиус-вектор , характеризующий относительное расположение точек, выражается через и : , а радиус-векторы и связаны с вектором соотношениями

, .

Аналогично и для скоростей:

.

Все эти соотношения помогают нам разделить переменные в уравнениях движения, переходя к переменной r, сведем оба уравнения к одному и тому же уравнению ,

где - “приведенная” масса. Это уравнение представляет собой уравнение движения одной точки в заданном поле с центром силы, как бы помещенной в центр масс системы двух точек. Таким образом задача двух тел сводится к задаче о движении точки в центрально симметричном поле с неподвижным центром.

Поскольку на точку действует центральная стационарная потенциальная сила, имеет место сохранение момента импульса и энергии относительно S_m:

.

Общее решение уравнения движения можно представить в виде:

, ,

,

где .

Смысл первого из интегралов очевиден: он определяет плоскость движения точки. Эта плоскость проходит через центр масс перпендикулярно к , т.е. совпадает с плоскостью движения точек. Второй и третий интегралы определяют движение точки на указанной плоскости в полярных координатах. Траектории обеих точек относительно системы центра масс подобны, а центр подобия находится в центре масс, причем соотношение подобия равно отношению масс точек.

Таким образом, мы можем определить функцию и тем самым найти законы движения точек относительно системы S в виде:

, .

Аналогично для скоростей точек относительно S получим решение в виде:

, .

Интегрируя уравнение траектории, получаем: , где - параметр орбиты, - эксцентриситет орбиты. Значение c зависит от выбора направления полярной оси в плоскости орбиты. Если ее направить на ближайшую к центру силы точку траектории, то c=0.

Опуская знак ”-“ перед ввиду четности косинуса, получаем уравнение орбиты в S_m:

,

где значение +1соответствует , а значение -1 .

Это уравнение является уравнением кривой 2-го порядка, в фокусе которой находится начало координат. Траектория такого вида представляет собой гиперболу, параболу, эллипс или окружность. В случае притяжения траекторией точки будет:

гипербола, если

парабола, если

эллипс, если

окружность, если

В случае отталкивания точка может двигаться только по гиперболе. При переходе в систему отсчета S на это движение накладывается движение центра масс с постоянной скоростью и направлением.

Численные методы.

Запишем уравнения движения двух материальных точек с зарядом , в неподвижной инерциальной системе отсчета S в проекции на оси координат x и y. - координаты первого тела, - координаты второго тела. - угол между направлением силы и осью абсцисс. Для первого тела:

,

.

,

, .

Подставляя r, , в уравнения движения получаем:

,

. Аналогично для второго.

Имеем четыре дифференциальных уравнения второго порядка относительно .

Для решения этих уравнений в программе используется численный метод Верле интегрирования дифференциального уравнения второго порядка, точнее, его “скоростная” форма. Получить этот алгоритм достаточно просто. Записав формулы для и , сложим их и вычтем. При сложении получаем формулу для координаты, при вычитании для скорости:

,

.

Получили так называемый алгоритм Верле. Глобальная погрешность имеет третий порядок для координаты и второй порядок для скорости. Недостатком алгоритма является то, что он не является самостартующимся. Недостатком также является то, что новая скорость находится по формуле вычитания двух близких по величине чисел. Эта операция обуславливает потерю значащих цифр и может привести к значительному росту погрешности округления. Математическим эквивалентом метода Верле является его скоростная форма:

,

.

Эта форма алгоритма Верле является самостартующей и не приводит к накоплению погрешности округления. Вывести ее можно из обычного алгоритма Верле.

Один из способов проверки устойчивости метода заключается в контроле величины полной энергии и обеспечении того, чтобы она с течением времени не отклонялась от начального значения. Достаточно большое значение шага интегрирования приводит к несохранению полной энергии и неустойчивым решениям, которые все больше отклоняются с течением времени от истинного решения.

6