-
Метод Ван-дер-Поля.
Чтобы исследовать уравнения (3), можно воспользоваться следующим приближённым методом, часто называющимся методом Ван-дер-Поля. Суть его состоит в том, что мы рассматриваем другие, составленные особым образом уравнения. При этом мы подбираем эти уравнения таким образом, чтобы они своим решением аппроксимировали решения нелинейных уравнений (3). При этом, метод Ван-дер-Поля обладает тем важным свойством, что он учитывает специфику нелинейных систем, их характерные черты; вспомогательные уравнения также являются нелинейными, но значительно более простыми.
Пусть задана некоторая фазовая плоскость xy; возьмём на этой плоскости вращающуюся (w) по часовой стрелке прямоугольную систему координат ab. Очевидно, при =0, когда система обращается в простейший гармонический осциллятор, фазовые траектории превращаются в круги с центром в начале координат. Формулы преобразования от переменных x,y к переменным a,b будут иметь следующий вид : (5)
x = a cos t + b sin t, y = - a sin t + b cos t ;
В
новых переменных уравнения (5)
принимают вид : (6)
Или : (7)
Развёртывая
правые части в конечные ряды Фурье
(считая a и
b
постоянными),
получаем выражения для производных
через коэффициенты Фурье. Ограничимся
в разложении лишь первым членом, отбросив
все остальные : (8)
Также
как и система (3),
данная система является автономной,
то есть не
зависящей явным образом от времени, что
позволяет использовать её для решения
проблем на комплексной плоскости. Однако
она значительно проще системы Ван-дер-Поля
в её исходном виде, при этом при переходе
к полярным координатам переменные
разделяются. Обозначим: (9)
В таком случае получаем: (10)
где
: (11)
В
таком виде наша система (3),
преобразованная к полярной системе
координат, представляется удобной для
исследования. Уравнения вполне можно
исследовать независимо друг от друга.
Начнём с первого из уравнений (10).
Качественная картина уравнений такого
типа полностью определяется расположением
и характером состояний равновесия на
соответствующей фазовой прямой.
Координаты этих состояний равновесия – корни уравнения :
Ф(К) = 0,
Состояния
равновесия для i-го
К будет устойчивым, если:
и
неустойчивым, если:
Остальные движения являются либо асимптотическими к состояниям равновесия как при t+, так и при t-, либо асимптотическими к состоянию равновесия для t+ и уходящими в бесконечность для t-.
Второе
из уравнений (10)
чаще всего ( в частности и в данном
конкретном случае) встречается в
модификации вида:
В этом случае
второе уравнение интегрируется сразу:
Возвращаясь
к обычной декартовой системе координат
на фазовой плоскости с помощью формул
преобразования координат, получим: (12)
Отсюда
получаем, что рассматриваемый предельный
цикл будет устойчив в своём орбитальном
движении по фазовой плоскости в декартовой
системе координат, если соответствующие
состояния равновесия будут устойчивы,
и наоборот. Остальные траектории,
представляющие собой на плоскости a,b
отрезки прямых, преобразуются на
плоскости x,y
в спирали,
вообще говоря, накручивающиеся на
предельные циклы либо при t+,
либо при t-.