05-02-2013_00-29-55 / 12-16

12.16. Знайти радіус кривизни за траєкторії точки, що описує фігуру Ліссажу у відповідності до рівнянь:

, .

Відповідь: .

Дано: .

Знайти: радіус кривизни траєкторії коли .

Розв’язання

Знайдемо рівняння траєкторії точки. Для цього із рівняння (2) знайдемо:

.

Тоді із (1) отримаємо: , отже . Домножуючи останнє рівняння на , будемо мати

(3)

- рівняння траєкторії точки.

Знайдемо радіус кривизни траєкторії точки, користуючись двома формулами.

Для того, щоб знайти за першою формулою:

,

знайдемо спочатку та , використовуючи залежність (3).

Диференціюємо (3) за

,

(4)

і знаходимо за : , отже .

Похідна від виразу (4) за має вигляд

.

(5)

Якщо підставити в цей вираз (5) значення та , то можна знайти :

,

звідки . Тоді остаточно маємо

.

Щоб знайти за другою формулою

,

знайдемо необхідні похідні за часом від координат і точки:

Тоді вираз радіусу кривизни набуває вигляду

.

Крім цього, із умови (тоді ) випливає, що

а тоді , а отже .

В ці моменти часу функції мають відмінне від нуля значення: та .

Отже тоді матимемо

.

Моделювання

Графік траєкторії точки (фігура Ліссажу) за формулою (3) можна отримати за допомогою пакету Matlab – Simulink. Для цього із бібліотек Sin і Sinks витягуються на робоче поле два генератори синусоїдальних коливань і один побудовник графіків (див. рис. 1)

Рис. 1. Схема з’єднання блоків для отримання фігур Ліссажу.

Якщо задати частоту коливань генератора Sine Wave X вдвічи більшою за Sine Wave Y, то отримаємо фігуру Ліссажу, наведену на рис. 2.

Рис. 2. Фігура Ліссажу для співвідношення частот до як 2/1.

Такий же саме графік можна отримати і безпосередньо за допомогою пакета Matlab.

Для цього треба послідовно виконати наступні оператори:

>> t=0:0.01:100;

>> x=-2*sin(2*t);

>> y=-2*sin(t);

>> plot(x,y)

і отримати графік, наведений на рис. 3.

Рис. 3. Фігура Ліссажу для співвідношення частот до як 2/1, отримана за допомогою пакету Matlab