Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1302 вуза, 5135 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Национальный технический университет Украины «Киевский политехнический институт»
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

Konspekt lek. MA-1

.pdf
Скачиваний:
18
Добавлен:
12.05.2015
Размер:
2.01 Mб
Скачать
☆

Лекція 6. Похідна і диференціал функції

 

51

6.2. Диференційовність функції

 

 

 

Розгляньмо функцію f(x), яка означена в деякому околі точки x0 .

Означення 6.3 (диференційовності функції в точці). Функцію

f (x) називають диференційовною в точці x0, якщо її приріст у цій

точці

 

 

 

 

f (x0 ) f (x0 x) f (x0 )

 

 

можна записати як

 

 

 

 

f (x0 ) A x ( x) x, x 0,

 

де A — деяке дійсне число, ( x) — н. м. ф., коли x 0.

 

Теорема 6.2 (критерій диференційовності). Функція f (x) дифе-

ренційовна в точці x0 тоді й лише тоді, коли в точці x0 існує скінчен-

на похідна f (x0) A.

 

 

 

 

Теорема 6.3. (необхідна умова диференційовності). Якщо функція

диференційовна в деякій точці, то вона й неперервна в цій точці.

 

Зворотне твердження неправдиве: з непере-

y y x

 

рвності функції f у деякій точці не випливає

 

 

диференційовність її в цій точці.

 

 

 

 

Приміром, функція y x

непрерервна

в

O

x

точці x0 0, але не має похідної в цій точці,

а,

Рис. 6.1. Приклад

отже, не є диференційовною.

 

 

неперервної

 

 

 

недиференційовної

 

 

 

функції в точці x0

0

6.3. Диференціал функції

Нехай функція f (x) диференційовна в точці x0, тобто має скінченну

похідну f (x0) і

f (x0 ) f (x0 ) x ( x) x, x 0.

Означення 6.4 (диференціала функції в точці). Диференціалом функції f (x) у точці x0 називають головну, лінійну щодо x, части-

ну приросту диференційовної функції f (x) і позначають df(x0 ) f (x0 ) x.

Знайдімо, приміром, диференціал функції f (x) x. Оскільки

52

Розділ 2. Диференціальне числення функцій однієї змінної

f (x) x 1,

то

df dx x,

тобто диференціал незалежної змінної дорівнює приростові цієї змінної і формулу для обчислення диференціала можна ще записати так: df f (x)dx.

З неї випливає рівність

dxdf f (x).

Отже, позначення df можна розглядати як відношення диферен- dx

ціалів df та dx.

6.4. Геометричний зміст похідної і диференціала

Дотична до кривої

Розгляньмо задачу будування дотичної до довільної плоскої кривої. Нехай f (x) неперервна функція, означена в деякому околі точки x0. Розгляньмо дві точки M0(x0; y0) та M(x0 x;y0 y) графіка цієї функції.

Через них проходить єдина пряма

— січна

M M :

x x0

 

y y0

 

 

 

0

x

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y y (x

x

) y

0

,

 

x

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Кутовий коефіцієнт січної

k yx .

y

M

y0 y

 

 

T

 

 

f(x0 )

 

 

df (x0 )

y0

M0

 

 

x

 

 

 

 

 

O

x0

x0 x x

Рис. 6.2. Дотична до кривої

Якщо точка M рухається вздовж кривої до точки M0, то січна повертається навколо точки M0 і прямує до деякого граничного поло-

ження M0T, яке називають дотичною до кривої в точці M0.

Січна прямуватиме до граничного положення, відмінного від вертикальної прямої, тоді й лише тоді, коли існує скінченна

Лекція 6. Похідна і диференціал функції

53

lim f(x0 ) f (x0 ),

x 0 x

яка є кутовим коефіцієнтом дотичної до графіка функції f (x) у точці x0.

У разі скінченної похідної f (x0 ) дотична до кривої y f(x) у точці

M0(x0 ;y0 ) має рівняння

yy0 f (x0 )(x x0 ).

Зрівняння дотичної, позначаючи ординату дотичної через yдот, ді-

стаємо рівності:

yдот y0 f (x0 ) x dy(x0 ).

1. Похідна функції f (x) у точці x0 дорівнює кутовому коефіцієнту доти-

чної, проведеної до графіка функції y f(x) у точці M0(x0; f(x0)), тобто f (x0 ) tg ,

де — кут нахилу дотичної до осі Ox.

2. Диференціал функції дорівнює приростові ординати дотичної.

Кутом між двома кривими y f1(x) та y f2(x) у точці їх перетину називають кут між дотичними до кривих, проведеними в цій точці.

Перетворюючи рівняння січної до вигляду

y

x x0

 

y0

,

y

y

 

 

 

x

 

 

x

 

і спрямовуючи x до нуля, дістанемо, що нескінченній похідній відповідає вертикальна дотична з рівнянням x x0.

Якщо в точці x0 існують однобічні нескінченні похідні однакових або протилежних знаків, то в цій точці графік функції має вертикальну дотичну з рівнянням

x x0.

y

 

x

0

x

y

 

 

 

x0 x

y

 

 

 

x0 x

y

 

 

x0 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f

(x

) ,

) ,

(x

) ,

f (x

) ,

f

 

0

 

 

 

0

 

 

 

0

 

 

 

 

0

 

 

 

f

 

(x

)

f

(x

)

f

(x

)

f

(x

)

 

0

 

 

 

0

 

 

 

0

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 6.3. Вертикальні дотичні до графіків функції

54

Розділ 2. Диференціальне числення функцій однієї змінної

Якщо в точці x0 не існує скінченної чи нескінченної похідної, то точка M0(x0 ;y0 ) є точкою злому графіка функції і в такій точці не мож-

на провести дотичну.

y y y x

x0 x O x

Рис. 6.4. До графіка функції у точці зламу не можна провести дотичну

Нормаль до кривої

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Нормаллю до кривої y f(x) у точці (x0 ;y0 ) на-

y

 

дотична

зивають пряму,

що перпендикулярна до дотич-

y

 

 

 

 

 

 

 

ної в цій точці.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

y f(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Оскільки кутові коефіцієнти перпендикуля-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

рних прямих зв’язані співвідношенням

 

 

 

 

 

 

 

нормаль

k k

1

k

 

 

 

1

,

 

 

 

 

 

 

 

 

O

x0

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 6.5. Нормаль

 

 

k1

 

 

 

 

 

 

 

 

1 2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

до кривої

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

kнорм

 

 

 

 

 

1

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

за умови, що kдот

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f

(x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x0 ) 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рівняння нормалі до кривої y f(x) у точці (x0;y0 ) має вигляд

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y y0

 

 

1

 

 

 

(x x0 ).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x

0 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Якщо дотична до графіка функції y f(x) у

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

точці M0(x0; f (x0 )) є

 

вертикальною

 

 

прямою

 

y0

 

 

 

 

 

 

 

x x0, то нормаль до графіка є горизонтальною

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

прямою

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

O

x0

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 6.6. Горизонтальна

 

 

y y0;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

нормаль

 

 

 

а у разі горизонтальної дотичної y y0

нормаль

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

має рівняння

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x x0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x0

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

O

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 6.7. Вертикальна

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

нормаль

 

 

 

Лекція 7. Диференціювання функцій

55

ЛЕКЦІЯ 7. ДИФЕРЕНЦІЮВАННЯ ФУНКЦІЙ

7.1. Правила диференціювання

Теорема 7.1 (про диференціювання суми, добутку і частки

функцій). Якщо функції u(x) та v(x) диференційовні в точці x, то в цій точці диференційовні їхні сума u(x) v(x), добуток u(x)v(x) та ча-

стка u(x)

(за умови, що v(x) 0),

причому

v(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(u v) u v ;

 

(uv) u v uv ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

 

u v uv

 

(v 0).

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

v

 

 

 

v

 

 

 

 

 

Наслідок. Сталий множник можна виносити за знак похідної:

(Cu(x)) Cu (x).

Диференціювання складеної функції

Нехай функція u (x) задана в деякому околі U(x0) точки x0, а функція y f (u) — в деякому околі V(u0 ) точки u0 (x0 ), причому f (U(x0 )) V(u0 ) і, отже, в околі точки x0 визначено складену функцію

y f ( (x)).

Теорема 7.2 (про похідну складеної функції). Якщо функція u (x) диференційовна в точці x0, а функція y f (u) диференці-

йовна в точці u0 (x0 ), то складена функція y f ( (x)) також диференційовна в точці x0 і

y (x0 ) f (u0 ) (x0 ),u (x).

У разі диференційовності функції u (x) в околі точки x0 , а фу-

нкції y f (u) в околі точки u0 (x0 ), правдива формула для похід-

ної складеної функції в околі точки x0 :

dxdy dudy dudx yx yuux .

56

Розділ 2. Диференціальне числення функцій однієї змінної

Логарифмічне диференціювання

Правило диференціювання складеної функції дозволяє значно спростити задачу знаходження її похідної.

Розгляньмо функцію y f (x) 0, утворімо складену функцію ln y ln f(x)

і обчислімо її похідну

(ln f(x)) f (1x) f (x).

Звідси випливає правило логарифмічного диференціювання: f (x) f (x)(ln f (x)) .

Похідну від натурального логарифму функції називають логари-

фмічною похідною цієї функції.

Логарифмічне диференціювання спрощує знаходження похідної:

1)степенево-показникових функцій (u(x))v(x);

2)функції, що має велику кількість співмножників. Приміром,

x

 

 

x

 

 

 

x

 

 

 

x

 

 

 

((sin x) )

 

(sin x) (ln(sin x)

)

(sin x) (x ln sin x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

1

ln sin x

x

(sin x)

 

 

 

 

 

 

(sin x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos x

 

 

 

ln sin x x ctg x .

(sin x)

ln sin x

x

 

 

 

(sin x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin x

 

 

 

 

 

 

 

 

Диференціювання оберненої функції

Нехай функція y f(x) має обернену функцію x (y) f 1(y).

Теорема 7.3 (про похідну оберненої функції). Якщо функція y f(x) має в точці x0 похідну f (x0 ) 0, то обернена функція x (y) також має у відповідній точці y0 f(x0 ) похідну, причому

 

 

(y

 

)

1

 

.

 

 

 

 

 

0

f (x0 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Якщо умови теореми 7.3 виконано в деякому околі точок x0 та

y0 f (x0 ), то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x)

 

 

 

1

 

y

 

1

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(f

1

 

x

x

 

 

 

 

 

(y))

 

 

 

y

 

Лекція 7. Диференціювання функцій

57

7.2. Основні формули диференціювання

Нехай u u(x),v v(x) — диференційовні функції, C — стала.

Функція

Похідна

Функція

Похідна

C

0

 

 

arcsin u

 

 

 

 

 

 

 

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 u2

u ,

u 1u

arccos u

 

 

 

 

 

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 u2

au , 0 a 1

au ln a u

arctg u

 

 

 

 

 

 

 

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 u2

 

 

 

eu

 

 

euu

arcctg u

 

 

 

u

 

 

 

 

 

 

 

 

1 u2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

loga u,

 

 

u

 

sh u

ch u u

0 a 1

 

u lna

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln u

 

 

u

ch u

 

sh u u

 

 

 

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin u

cos u u

th u

 

 

 

 

 

 

 

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ch2 u

 

 

cos u

sin u u

cth u

 

 

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sh2 u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

tg u

 

 

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos2 u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ctg u

 

 

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin2 u

7.3.Диференціювання неявних функцій

Нехай диференційовну функцію y y(x) задано неявно рівнянням

F(x, y) 0.

Якщо в рівнянні F(x, y) 0 під y розуміти функцію y(x), то це рівнян-

ня перетворюється на тотожність за аргументом x :

F(x, y(x)) 0 x X.

Диференціюючи цю тотожність за змінною x, вважаючи, що y є функцією x, дістаємо лінійне щодо y рівняння, яке також містить змінні x та y.

Розв’язуючи його щодо y , знаходимо шукану похідну функції y f (x), заданої неявно

58

Розділ 2. Диференціальне числення функцій однієї змінної

yx g(x, y).

7.4. Диференціювання функцій, заданих параметрично

Нехай функцію y(x) задано параметрично

 

 

x x(t),

 

 

t T.

 

y y(t),

 

 

 

 

 

Припустімо, що функції x(t) та y(t) диференційовні для будь-якого t T й x (t) 0. Крім того, вважатимемо, що функція x x(t) має обер-

нену функцію t(x),

яка також диференційовна. Тоді функцію y y(x),

задану параметрично, можна розглядати як складену функцію

 

 

y y(t), t t(x),

 

 

 

де t — проміжний аргумент.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тоді

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y y t

 

y

 

1

 

yt

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

t x

 

 

 

t

xt

xt

 

 

 

Отже, похідна функції y y(x),

 

заданої параметрично теж зада-

ється параметрично рівняннями

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x(t),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

t

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

xt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cost,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t [0; ],

то її похідну

Приміром, якщо задано функцію

sint,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

задають рівняння

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cost,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(sin t)

 

 

cost

 

 

 

 

 

 

 

 

t [0; ].

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

ctg t,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(cost)

 

sin t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Лекція 8. Похідні і диференціали вищих порядків

59

ЛЕКЦІЯ 8. ПОХІДНІ І ДИФЕРЕНЦІАЛИ ВИЩИХ ПОРЯДКІВ

8.1. Похідні вищих порядків

Розгляньмо диференційовну в кожній точці x X функцію f(x).

Тоді її похідна

f (x), яку називатимемо похідною 1-го порядку

(першою похідною),

також є функцією від x. Якщо функція f (x) дифе-

ренційовна, то можна означити її похідну

 

 

 

 

 

 

(f (x)) f (x) d2f ,

 

 

 

dx2

 

яку називають похідною 2-го порядку (другою похідною) функції f.

Означення 8.1. (похідної n -го порядку). Похідною n -го порядку

функції f називають похідну від похідної (n 1)-го порядку і позначають

f (n)(x) dn f (f (n 1)(x)) ,n 1, 2,..., dxn

f (0)(x) f (x).

Похідні 1-го, 2-го та 3-го порядку позначають штрихами, примі-

ром,

f (x), f (x), f (x).

Починаючи з похідної 4-го порядку, похідні позначають цифрами

(римськими або арабськими, взятими в дужки). Приміром,

f (4)(x) f IV(x).

Функцію f (x) називають n разів диференційовною в точці x X, якщо в цій точці функція має всі похідні до n -го порядку включно.

Множину всіх функцій f , означених в інтервалі (a;b), які мають неперервну похідну n -го порядку, позначають C n(a;b).

Функцію f , що має похідні будь-якого порядку в кожній точці ін-

тервалу (a;b), називають нескінченно диференційовною в (a;b) і пи-

шуть f C (a;b).

Приміром, функції ex, sin x, cos x є нескінченно диференційовними на ( ; ).

60

Розділ 2. Диференціальне числення функцій однієї змінної

 

Методом математичної індукції можна одержати формули:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m !

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

, n m,

 

 

 

 

 

 

(x

m (n)

 

 

 

 

 

 

 

 

n ;

 

 

 

)

 

(m n)!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,

 

 

 

 

n m,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(eax )(n) aneax ,n ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(n)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(sin x)

 

sin x

 

 

n ,n ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(n)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(cos x)

cos x

 

,n .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Похідні вищих порядків суми і добутку функцій

Теорема 8.1. (про похідні вищих порядків суми і добутку фун-

кцій). Якщо функції u(x) та v(x) мають похідні n -го порядку в точці x, то функції u(x) v(x) та u(x)v(x) також мають похідні n -го порядку

в цій точці, причому

(u(x) v(x))(n) u(n)(x) v(n)(x);

 

 

(n)

 

 

0 (n)

1 (n 1)

 

... C

n 1

(n 1)

n

uv

(n)

 

(u(x)v(x))

C

u v C

u v

 

n

u v

C

 

 

 

 

 

 

n

 

n

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Cnku(n k)(x)v(k)(x),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

де Cnk

 

n !

 

 

;u(0)(x) u, v(0)(x) v(x), n

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(n k)!k !

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Формулу для (uv)(n) називають Лейбніцовою. Вона нагадує формулу Ньютонового біному, лише замість степенів стоять порядки похідних.

Наслідок. Якщо функція f є n разів диференційовною в точці x, а

C const, то

(Cf(x))(n) Cf (n)(x),C const,n .

Приміром,

 

 

 

C

20120

1

u(2012)

sin x 1006

sin x

v x

 

 

 

 

 

(2012)

 

 

1

 

 

(2011)

 

2011

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v 1

 

(x sin x)

 

 

C

2012

2012

u

 

sin x

 

 

cos x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

C

2

...

u(2010)

...

 

 

 

v 0

 

 

 

 

 

2012

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 x sin x 2012 1( cos x) 0 ... x sin x 2012 cos x.

 
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности