Konspekt lek. MA-1

ЛЕКЦІЯ 5. НЕПЕРЕРВНІСТЬ ФУНКЦІЇ

5.1. Неперервність функції в точці

Неперервні функції є основним класом функцій, які розглядають у математичному аналізі.1

Нехай функція f (x), x X, означена в деякому околі точки x0 X.

Означення 5.1 (функції, неперервної в точці). Функцію f (x), x X,

називають неперервною в точці x0, якщо існує границя функції f(x),

коли x x0, і ця границя дорівнює значенню функції в точці:

lim f(x) f(x0).

x x0

Отже, функція f (x), x X, є неперервною в точці x0, якщо вико-

нано умови:

1)вона означена в точці x0;

2)існує lim f(x);

xx0

3)lim f(x) f(x0 ).

xx0

З означення неперервної в точці x0 функції y f (x) випливає, що

Позначмо приріст аргументу в точці x0 як

x x x0

і відповідний йому приріст функції f (x) як

f(x0 ) f(x) f(x0 ) f(x0 x) f(x0 ).

Тоді умову неперервності можна переписати як

lim f 0.

x 0

1 Уявлення про неперервну функцію як функцію, графік якої можна накреслити не відриваючи олівця від паперу, є лише початковим уявленням, що потребує уточнення.

5.2. Точки розриву функції

Точку, в якій функція f неперервна, називають точкою неперервності функції f.

Теорема 5.3 (критерій неперервності функції в точці). Функція f (x), x X, неперервна в точці x0 X тоді й лише тоді, коли існують

x0, крім, можливо, самої точки x0.

Означення 5.2 (точки розриву). Точку x0 називають точкою роз-

риву функції f , якщо: функція f або не означена в точці x0, або f означена в цій точці, але не є в ній неперервною.

Розрив функції в точці x0 геометрично означає «розрив» графіка функції в цій точці.

Точки розриву класифікують залежно від порушення умови неперервності функції.

Означення 5.3 (типів точок розриву). Якщо в точці розриву x0 іс-

нують обидві скінченні однобічні границі функції f(x0 0) та f (x0 0), то її називають точкою розриву 1-го роду (точкою скінчен-

ного розриву), а величину

f (x0 0) f (x0 0)

називають стрибком функції.

У разі, якщо в точці розриву x0 функція f не має хоча б однієї одно-

бічної границі або має нескінченну границю, то точку x0 називають

точкою розриву 2-го роду.

ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ

ЧИСЛЕННЯ

ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ

Уцьому розділі означено:

—похідну функції;

—диференційовність функції в точці;

—диференціал функції;

—дотичну та нормаль до кривої;

—похідну і диференціал n-го порядку;

—формулу Тейлора (многочлен Тейлора, залишковий член формули Тейлора);

—локальні екстремуми (мінімум і максимум) функції;

—опуклість донизу і догори графіка функції;

—точку перегину;

—асимптоти графіка функції (похилі і вертикальні).

Уцьому розділі розглянуто:

—критерій існування похідної;

—критерій і необхідну умову диференційовності;

—геометричний зміст похідної і диференціала;

—правила й основні формули диференціювання;

—теореми про середнє диференціального числення;

—правило Бернуллі — Лопіталя;

—теорему Тейлора;

—формули Тейлора — Маклорена для деяких елементарних функцій;

—достатню умову монотонності функції;

—умови (необхідна, достатні) існування локального екстремуму;

—достатню умову опуклості й угнутості функції;

—умови існування (необхідну, достатню) точки перегину;

—критерій існування похилої асимптоти.

Уцьому розділі обґрунтовано методи:

—знаходження похідних і диференціалів будь-якого порядку явно, неявно і параметрично заданих функцій;

—знаходження рівняння дотичної і нормалі до кривої;

—знаходження похідної n-го порядку від добутку функцій (формула Лейбніца);

—розкриття невизначеностей за правилом Бернуллі — Лопіталя і формулою Тейлора;

—наближені обчислення за Тейлоровою формулою;

—дослідження функцій на монотонність і локальні екстремуми;

—дослідження графіків функцій на опуклість і точки перегину;

—знаходження похилих і вертикальних асимптот графіка функції;

—знаходження глобальних екстремумів;

—повного дослідження функцій і побудови їх графіків.

ЛЕКЦІЯ 6. ПОХІДНА І ДИФЕРЕНЦІАЛ ФУНКЦІЇ

6.1. Похідна функції

Розгляньмо функцію f(x), означену в деякому околі U(x0) точки x0. На-