Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный технический университет Украины «Киевский политехнический институт»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Елементарна математика

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.05.2015

Размер:

2.61 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 118 9 10 11 > Следующая >>>

7. Тригонометричні функції. Ч. 1

7.5.Спростити вираз:

1) sin 32 cos 28 cos 32 sin 28 ; 2)

cos sin

sin 15 cos 15

cos2 sin2

Розв’язання. [2.3.2, 2.3.3.]

sin 32 cos 28 cos 32 sin 28

2 sin(32 28 )

2 sin 60

[2.2.5]

sin 15 cos 15

sin 30

2 sin 15 cos 15

: 1 2

cos sin

2 cos sin

sin 2

1 tg 2 .

cos2 sin2

2 cos 2

7.6. Подати cos x cos 3x як суму тригонометричних функцій.

Розв’язання. [2.3.6.]

cos x cos 3x 21 (cos(x 3x) cos(x 3x)) 21 cos 4x 21 cos( 2x)

12 cos 4x 12 cos 2x.

7.7.1.Перетворити вираз sin x cos x, упроваджуючи допоміжний кут.

Розв’язання. [2.11.2.]

І спосіб (перетворення у синус суми).

							1
	2	2

			sin x cos x
sin x cos x	1	1			2	sin x

							2
				2



2			cos x sin
2	sin x cos		cos x sin		2 sin x
		4
		4		4

ІІ спосіб (перетворення у косинус різниці).

							1
	2	2

			sin x cos x
sin x cos x	1	1			2	cos x

							2
				2



2			sin x sin
2	cos x cos		sin x sin		2 cos x
		4
		4		4

cos x

.

sin x

.

7.7.2. Перетворити вираз sin x 3 cos x, у синус різниці, впроваджуючи допоміжний кут.

Розв’язання. [2.11.2, 2.3.2.]

[Крок 1. Визначаємо амплітуду.]

A 12 ( 3)2 10.

[Крок 2. Множимо і ділимо вираз на амплітуду, перетворюємо його.]

						1		3

		sin x 3 cos x
sin x 3 cos x	10			10	sin x		cos x		.
sin x 3 cos x	10			10	sin x		cos x		.
			10			10		10
			10			10		10

72	Розділ 2. ФУНКЦІЇ

[Крок 3. Визначаємо допоміжний кут із системи.]
	1
	1


cos			,		3
	10			arcsin	3	.


	3				10
					10
sin		10
		10

[Крок 4. Записуємо перетворену формулу.]
																				3

			sin x cos 3x														arcsin
			sin x cos 3x										10 sin x				arcsin					.

Коментар.  Оскільки cos 0																				10
Коментар.  Оскільки cos 0												та sin 0, то кут лежить у першій чверті.
7.8.	Обчислити:
					1

	1) sin															2)	tg(arctg			2);
	1) sin	arcsin					;									2)	tg(arctg			2);

					3

																4)
	3) arcsin sin						;									4)	arctg tg						;

					8																5
	5) arcsin(sin 3);															6) arccos(cos 4).
Розв’язання. [2.9.5.]
		1		1
		1		1	.
1. sin arcsin					.
				3
		3		3
2. tg(arctg
2. tg(arctg		2)		2.

						, оскільки									;	.
3. arcsin sin						, оскільки									;	.

		8		8							8			2
		8		8							8			2		2

																		;
4. arctg tg										, оскільки								;	.
								5
			5					5						5			2 2

5. arcsin(sin 3) arcsin(sin( 3)) 3,																	оскільки 3									;
5. arcsin(sin 3) arcsin(sin( 3)) 3,																	оскільки 3									;	.
																									2		2
6. arccos(cos 4) arccos(cos(2 4)) 2 4, оскільки 2 4																								[0 ].

7.9.									3
7.9.	Знайти tg arcsin									.

									5

Розв’язання.

Нехай arcsin 35 .

Розглянемо прямокутний трикутник з гіпотенузою c 5 і катетом a 3, який лежить проти кута .

За Піфагоровою теоремою маємо

b c2 a2 52 32 16 4.

5	3

Рис. до зад 7.9

7. Тригонометричні функції. Ч. 1

Тоді

tg ab 34 .

Задачі для аудиторної і домашньої роботи

7.10.Виразіть у радіанах кут: 1) 20 ;

3)45 ;

5)135 ;

7)240 ;

7.11.Виразіть у градусах кут:

1)18 ;

3) 4 ;

5) 23 ;

7)76 ;

7.12.Спростіть вираз:


1)
1)	sin			t ;

	2
3)	cos(2 t);
5)	sin( t);

7)	cos
7)	cos			t ;

		2

9)
9)	tg		t ;

	2

11)	ctg( );
13)		sin( t) cos(2 t)	;
		tg( t) cos( t)

2)	50 ;
4)	60 ;
6) 120 ;
8)	330 .
2)			;
2)	10		;
	10
4)		;
	6
6)		3	;
	4
8)		5 .
	3
				3
2)				3
2)	cos					t ;
				2
				2
4)	sin( t);
6)	cos(2 t);
				3
8)				3
8)	sin					t ;
				2
				2
					3
10) cos					3		t
10) cos							t	;
					2
					2

12)	tg( );
14)		sin( t) sin(2 t)
					.
			3		.

		tg( t) cos		t
			2
			2

7.13. Обчисліть за допомогою формул зведення:

1)	cos	5		;	2)	sin	7
			3				6


3)	sin			11	4)
				;		cos

				6

;

7 ;

74	Розділ 2. ФУНКЦІЇ

5)	sin( 7 ) 2 cos 31 tg				7	;
		3			4

6)			49				21
	cos( 9 ) 2 sin			ctg				;
	cos( 9 ) 2 sin			ctg				;

			6				4
7)	sin 75 sin 15 ;						8) cos 105 cos 75 .

7.14.Спростіть:

1)sin( ) sin cos ;

3) sin sin cos( );


5)	5	1	cos ;
5)	sin		cos ;
		2
	6	2

		3
7)		3		5
7)			sin cos		;
	2
	2			3

9)cos( ) cos cos ;

11)sin cos sin( );

7.15.Обчисліть:

1)cos 58 cos 38 sin 58 sin 38 ;

3) cos 12 cos 4 sin 12 sin 4 ;

5) sin 77 cos 17 sin 13 cos 73 ;

7)tg 25 tg 20 ;

1tg 25 tg 20

9)1 tg 70 tg 65 ; tg 70 tg 65

7.16.Спростіть:

1)2 sin2 1 ;

12 cos2

3)sincos2tt sin t;

5) cos2 t cos 2t;

7) sinsin 2040 ;

						1
2)	sin					1		sin ;
2)	sin							sin ;
						2
			3			2

								2
								2
4) cos									sin	;
4) cos									sin	;
								2
				4				2


6)
6)		3 cos 2 cos									;

										6


8)							sin ;
8)		2 sin					sin ;

					4

10) sin( ) sin( ); 12) cos( ) cos( ).

2)	sin			2 cos			cos		2 sin			;
			15			5			15		5
4)	sin				cos		cos			sin	;
						4			12
6)			12								4
	cos 125 cos 5 sin 55 cos 85 ;
8)		tg 9 tg 51						;

	1 tg 9 tg 51

10)	1 tg 54 tg 9 .
	tg 54 tg 9

2) (sin cos )2 ;

1 sin 2

4) sin 6t ; cos2 3t

cos 2t

6) cos t sin t sin t;

sin 100 ; 8) 2 cos 50

	7. Тригонометричні функції. Ч. 1					75
9)	cos 80	;	10)	cos 36 sin2	18	;
	cos 40 sin 40			cos 18

11)	sin t				;
		2 t

	2 cos
				2
13)		cos t					;

	cos	t	sin			t

	2				2

sin 4t 12) cos 2t ;

14) cos 2t sin 2t ; cos 4t

	15)			1 cos 2x									2 sin x, x [0; 2 ];

											3
											3
	16)			cos x cos								x			cos x sin x, x							;
	16)			cos x cos								x			cos x sin x, x					2		;	2		;
																				2			2
	17)				1 cos x					tg x				, x ( ; );			18)			1 cos x								ctg x		, x		(0; 2 ).
				1 cos x									2								1 cos x								2
7.17.	Обчисліть:
	1)	2 sin 15 cos 15 ;															2)	(cos 75 sin 75 )2;
	3)	cos2 15 sin2 15 ;															4)	(cos 15 sin 15 )2;
	5)	2 sin					cos			;							6)			2				sin				2
	5)	2 sin				8	cos		8	;							6)	cos				8		sin					8
						8			8													8							8
	7)	10 sin 40 sin 50 ;															8)	1 cos 14									tg 7 .
						cos 10													sin 14
7.18.	Перетворіть на добуток:
	1)	sin 3t sin t;															2)	cos( 2 ) cos( 2 );
	3)	cos 6t cos 4t;															4)	sin( 2 ) sin( 2 ).
7.19.	Перетворіть на суму:
	1)	sin( ) sin( );															2)	cos( ) cos( );

	3)																4)
	3)	cos							cos							;	4)	cos									cos					;
																															4
					2			2				2				2										4					4
	5)	sin cos( );															6)	cos sin( ).
7.20.	Перетворіть вираз до вигляду A sin( t ), A 0 :
	1)	sin 5x cos 5x;															2)	cos 4x sin 4x;
	3)																4)
	3)		3 sin x cos x;														4)		3 sin x cos x;
	5) 12 cos x 5 sin x;																6)	4 sin x 3 cos x;
	7)	sin x cos x;															8)	7 sin x 24 cos x.
7.21.	Знайдіть значення інших тригонометричних функцій кута , якщо:
	1)	sin 1						, 0								;	2)	sin 1										, 3 ;
							3							2												8						2

76	Розділ 2. ФУНКЦІЇ

3) cos 25 , 2 ;

5)tg 15, 2 ;

7.22.Обчисліть:


1)					2
1)	arcsin 2 cos							;

					3
				7
3)				7
3)	arctg 2 cos							;

					6
7.23. Обчисліть:
			2
1)			2
1)	sin arcsin				;

			5
		1
3)		1
3)	tg arctg		;

		3
			3
5)			3
5)	sin arccos				;

			5
								5
7)								5
7)	cos arcsin									;

							13
							5
9)							5
	tg arccos								;
	tg arccos								;

						13

11) tg(arcsin 0, 6);

7.24. Обчисліть:

1) arcsin(sin 1, 2 );

3) arctg tg 3, 3 ;

5) arcsin sin 6;

7) arccos cos 11;

4) cos 45 , 32 2 ; 6) ctg 3, 32 .

		1
2)		1	tg
2)	arccos		tg			;

	2				3


4)			3 ctg					2
4)	arcctg		3 ctg							.

									3

2)				1
2)	cos arccos				;

				5
							1
4)							1
4)	ctg arcctg									;

							4
6)	sin(arccos( 0, 8));
				8
8)				8
8)	cos arcsin					;

				17
					4

10)ctg ;

12)ctg(arcsin( 0, 8)).arccos 5

2)	arccos(cos 1, 3 );
4)		3

	arcctg ctg		;
		5
		5
6)	arcsin sin 22;
8)	arccos cos 34.

Відповіді

7.10.1) 9 ; 2) 518 ; 3) 4 ; 4) 3 ; 5) 34 ; 6) 23 ; 7) 43 ; 8) 116 .

7.11.1) 10 ; 2) 18 ; 3) 45 ; 4) 30 ; 5) 120 ; 6) 135 ; 7) 210 ; 8) 300 .

7.12. 1)	cos t; 2) sin t; 3) cos t; 4) sin t; 5) sin t; 6) cos t; 7)					sin t; 8)	cos t; 9) ctg t;
10) sin t; 11) ctg ; 12)				tg ;	13) cos t; 14) cos t.
7.13. 1)	1 ;	2) 1 ; 3)	1 ;	4) 1 ;	5) 2; 6) 1; 7) 1 ; 8) 0.
	2	2	2	2	4

																7. Тригонометричні функції. Ч. 1																								77
																																							1 cos ;
7.14. 1) sin cos ;							2)			3		cos ; 3)							cos cos ; 4)								2	cos ;		5)		3	sin ; 6)				sin ;	7)	1 cos ;
									2																	2					2								2
8) cos ;					9) sin sin ; 10)											2 sin cos ; 11)								sin cos ; 12)						2 cos cos .
									1									1 ; 5)						1 ;
				2		3														3
7.15. 1)				2	; 2)	3	; 3)				;		4)							3	;	6)				7) 1; 8)				3; 9) 1;					10) 1.
			2			2			2									2		2				2
7.16. 1) 1; 2) 1; 3) sin t; 4) 2 tg 3t; 5) sin2 t; 6) cos t; 7) 2 cos 20 ;																															8) 2 sin 50 ;
9) cos 40 sin 40 ; 10)									cos 18 ; 11)										tg t ;			12)		2 sin 2t; 13) cos t sin t												; 14)		1		.
9) cos 40 sin 40 ; 10)									cos 18 ; 11)										tg t ;			12)		2 sin 2t; 13) cos t sin t												; 14)	cos 2t	sin 2t		.
																				2										2				2			cos 2t	sin 2t

																							2		2 sin x, x [0; ],
15)		1 cos 2x						2 sin x, x [0; 2 ];															2		2 sin x, x [0; ],
15)		1 cos 2x						2 sin x, x [0; 2 ];												16)
																								0,				x [ ; 2 ];
																								0,				x [ ; 2 ];

																						x												x


	2		cos x sin x,					x 0;								,														2 ctg
	2		cos x sin x,					x 0;							2	,				2 tg			,	x [0; ),						2 ctg					,	x (0; ],
																						2												2
17)																		18)				2							19)					2
							x
					0,									; 0			;			0,				x ( ; 0];							0,					x [ ; 2 ).
					0,								2	; 0			;			0,				x ( ; 0];							0,					x [ ; 2 ).

7.17.1) 12 ; 2) 12 ; 3) 23 ; 4) 32 ; 5) 22 ; 6) 22 ; 7) 5 tg 40 ; 8) 1.

7.18.1) 2 cos 2t sin t; 2) 2 sin sin 2 ; 3) 2 cost cos 5t; 4) 2 cos sin 2 ;

7.19. 1)	1		(cos 2 cos 2 ); 2)										1		(cos 2 cos 2 ); 3) 1													(cos cos ); 4)						1 cos 2 ;
	2												2												2									2
5) 1 (sin( 2 ) sin ); 6)										1				(sin(2 ) sin ).
2										2


7.20. 1)					5x					2					4x
7.20. 1)		2 sin			5x		; 2)			2					4x			; 3)					2 sin				x ;		4) 2 sin x						;
																									3
							4										4								3									6
																						3

			x arctg				12									arctg
5) 13 sin			x arctg				; 6)			5 sin x						arctg							; 7)			2 sin x							;
																						4
							5															4											4

			x arctg				24
8) 25 sin			x arctg				.

							7
7.21. 1) cos 2						2														1
						2	, tg 2								2, ctg					1				;
						3	, tg 2								2, ctg									;
						3											2					2

2) cos 3					7			1
					7	, tg		1						, ctg 3						7;
						, tg								, ctg 3						7;
				8				3		7
																													3					3 , ctg				4
3) sin				21	, tg				21			, ctg									2		; 4) sin						3		, tg							4	;
3) sin					, tg							, ctg											; 4) sin								, tg								;
				5				2												21									5					4				3
																														1						3			1 .
5) cos 1					, sin			15			, ctg								1			;	6) sin							1		, cos				3	, tg
5) cos 1					, sin						, ctg											;	6) sin									, cos					, tg
				4				4									15												10						10				3

7.22.1) 2 ; 2) 6 ; 3) 3 ; 4) 34 .

7.23.1) 25 ; 2) 15 ; 3) 13 ; 4) 14 ; 5) 45 ; 6) 35 ; 7) 1213 ; 8) 1715 ; 9) 125 ; 10) 43 ; 11) 43 ; 12) 43 .

7.24.1) 0, 2 ; 2) 0, 7 ; 3) 0, 3 ; 4) 35 ; 5) 6 2 ; 6) 7 22; 7) 4 11; 8) 34 10 .

78	Розділ 2. ФУНКЦІЇ

8. Тригонометричні функції. Ч. 2

Навчальні задачі

8.1.1. Розв’язати рівняння sin x			3	.
8.1.1. Розв’язати рівняння sin x			2	.
Розв’язання. [2.14.3.]			2
Розв’язання. [2.14.3.]
						n
3		n			3	n	n, n .
sin x		x ( 1) arcsin				n ( 1) 3
sin x	2	x ( 1) arcsin			2	n ( 1) 3

x ( 1)n 3 n, n .

8.1.2. Розв’язати рівняння sin x				1 .
Розв’язання. [2.14.3.]				3
Розв’язання. [2.14.3.]				1
	1	n		1	n 1	1
sin x		x ( 1)			n ( 1)	arcsin n, n .
sin x		x ( 1)	arcsin		n ( 1)	arcsin n, n .
	3					3
	3			3		3

x ( 1)n 1 arcsin 13 n, n .


8.1.3.							2x				0.
8.1.3.	Розв’язати рівняння sin						2x				0.

									4
Розв’язання. [2.14.3.]
																			n
	2x					n					2x			n x					n	, n .
sin	2x	0 2x				n					2x			n x						, n .
				4									4					8	2
		4		4									4					8	2
x	n	, n .
8	2

8.2.1.	Розв’язати рівняння cos x									2		.
8.2.1.	Розв’язати рівняння cos x											.
Розв’язання. [2.14.4.]									2
Розв’язання. [2.14.4.]

			2												2
			2												2
		cos x			x arccos											2 n

			2												2
			2												2


							2
							2
	x arccos							2 n x										2 n

							2										4
							2										4

x 3 2 n, n . 4

8. Тригонометричні функції. Ч. 2

8.2.2. Розв’язати рівняння cos x 13 .

Розв’язання. [2.14.4.]

cos x 13 x x arccos 13 2 n, n .

cos x

8.2.3. Розв’язати рівняння

arccos 13 2 n, n .


		0.
		0.

	3

Розв’язання. [2.14.4.]

x				x					x
		0						n
cos		0						n
				2	3		2		2
2	3			2	3		2		2
			x		5	2 n, n .
					3

x 5 2 n, n . 3

5 n

8.3.	Розв’язати рівняння tg x 3.
Розв’язання. [2.14.5.]

	tg x 3 x arctg(		3)	n x arctg	3 n
				n, n .
		x 3		n, n .

x	3 n, n .

8.4.Розв’язати рівняння ctg x 1.

Розв’язання. [2.14.6.]

	ctg x 1 x arcctg( 1) n x			arcctg 1 n
	x n x		3	n, n .
	4		4
x	3 n, n .
	4
8.5.	Розв’язати нерівність sin x	1 .
		2
Розв’язання. [2.14.3.] 
[Розв’язуємо нерівність, будуючи графіки y sin x і y 1 .]					arcsin	1	.
				2		2	6

80	Розділ 2. ФУНКЦІЇ

			y			y sin x
		y	1			y sin x
		y	1
			2
							x
			O				5
				6			6
			Рис. до зад 8.5
	1
Нерівність sin x	1	правдива для x			;		Ураховуючи періодичність
Нерівність sin x		правдива для x			;	.	Ураховуючи періодичність
	2
	2			6		6

синуса, маємо

x 2 n;

5
5
	2 n , n .
6
6

Коментар.  Задачу можна розв’язати за допомогою графіка y sin x або на одиничному колі.

8.6.	Розв’язати нерівність cos x	2	.
		2

Розв’язання. [2.14.4.] 

[Розв’язуємо нерівність за допомогою одиничного кола.]

arccos	2	.
arccos	2	.
	2	4
			2
			2			7
Нерівність cos x				правдива для x	;	. Урахо-
Нерівність cos x				правдива для x	;	. Урахо-
			2
			2	4		4

вуючи періодичність косинуса, маємо

		7
	2 n;	7
x	2 n;		2 n , n .
		4
4		4

Задачі для аудиторної і домашньої роботи

8.7.Розв’яжіть рівняння:

1)	sin 3x 0;			2)	ctg 7x 0;
3)	cos x 0;			4)	tg x 0;
	4				5
5)	sin	x	1;	6)	sin 4x 1;

7)	2			8)
	cos 2x 1;				cos 5x 1;
9)	sin x 1 ;			10) cos x		1	;
	3					3

y
		2
	4	2
	4	2
		2
	1	x

Рис. до зад 8.6

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 118 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.04.20252.97 Mб0Електроніка.docx
#
17.03.2016629.27 Кб17Електроніка.pdf
#
01.04.202512.56 Mб0Електроніка_Методичні вказівки до лабораторних...doc
#
12.05.2015378.44 Кб60Електротехническая часть.docx
#
24.08.2019520.19 Кб3Елемент_база.doc
#
12.05.20152.61 Mб32Елементарна математика.pdf
#
12.05.2015398.96 Кб13Елементи теорії графів. Для 1к.pdf
#
13.09.20191.46 Mб1ЕМСТ_Шпора(ALL).docx
#
07.07.2019858.35 Кб27ЕП відповіді.docx
#
01.05.20251.07 Mб0ЕП-сам.вивч.курсу.doc
#
18.08.2019365.06 Кб1Естамп-Іванов-Ахметов.doc