OT_METOD_KP_ONOEOT

При умові, що a, b - скінчені й підінтегральна функція є неперервною функцією від x на всьому інтервалі [a, b]. З геометричних уявлень визначений інтеграл - це площа фігури, яка окреслена кривою

. віссю X й прямими х=a та x=b (рис. 7.1). Обчислити цю площу можна так: розіб'ємо інтервал інтегрування [а,b] на n стрічок з малим кроком

, на кожному інтервалі довжиною h замінюємо функцію

відрізком прямої (рис.2) й визначаємо площу елементарної стрічки як площу трапеції . При цьому похибка кожної обчисленої елементарної площі визначається заштрихованою не врахованою площею (рис. 7.2)

Рисунок 7.1 - Визначення елементарних стрічок площі підінтегральної функції

80

Рисунок 7.2 - Обчислення площі елементарної стрічки

Наближене значення інтеграла є сума усіх елементарних площ , тобто:

2

Після нескладних перетворень маємо квадратурну формулу методу трапецій у вигляді:

величина похибки пропорційна квадрату кроку інтегрування.

Похибку обчислення інтегралу можна зменшити за рахунок ускладнення алгоритму метода. Наприклад, замінюючи підінтегральну функцію для двох сусідніх стрічок відрізком параболи, можливо побудувати більш точну квадратурну формулу, формулу Сімпсона, яка має вигляд:

де n - обов'язково парна кількість стрічок.

Похибка формули Сімпсона визначається виразом ,тобто пропорційна вже четвертій степені кроку інтегрування.

81

Із наведених формул зрозуміло, то точність обчислення значень інтегралів буде тим вища, чим меншим буде крок розбивання інтервалу інтегрування [a, b]. Ця обставина використовується для забезпечення потрібної точності реалізації квадратурних формул, при цьому задаються абсолютною похибкою ε, обчислення інтегралу.

наступну процедуру забезпечення точності:

1.Визначають початкову кількість кроків п.

2.За допомогою визначеної квадратурної формули обчислюють

4.Розраховують нове значення інтеграла для п кроків.

5.Перевіряють умову:

||

Якщо ця умова не виконується, то знову виконують п.3,4,5.

Квадратурні Формули Чебишева і Гауса

Для створення квадратурних формул використовуються і інші способи. Наприклад, Чебишев запропонував при побудові квадратурної формули

2.квадратурна формула має бути точною для всіх поліномів до степені n включно.

Зурахуванням другої умови квадратурна формула є точною для

2

Значення абсцис , обчислюються із рішення системи алгебраїчних рівнянь, яка будується з урахуванням другої умови.

Створена таким чином квадратурна формула зветься формулою

для всіх поліномів найбільш можливої степені п, то будемо мати так звану квадратичну формулу Гауса.

При побудові формули Гауса додатково треба взяти як значення координати нулів полінома Лежандра

а коефіцієнти , знайти як рішення системи алгебраїчних рівнянь, побудованої звичайним шляхом. Створені таблиці значень , та формули Гауса, наприклад табл. 7.2.

83

22 2

Застосовуючи відповідні квадратурні формули для обчислення заданого інтегралу, маємо:

формулу Чебишева:

84

формулу Гауса:

2

де

- значення вузлів, які знаходяться із відповідних таблиць. Забезпечення заданої точності обчислення визначених інтегралів

загального типу може бути здійснено одним з двох способів:

1.необхідна точність обчислення досягається за рахунок вибору більшої кількості вузлів п відповідної квадратурної формули;

2.може бути побудована процедура, аналогічна раніше використаній, коли обчислюваний інтеграл записується у вигляді суми двох, чотирьох, восьми й т.д. інтегралів, наприклад:

де кожний інтеграл обчислюється за допомогою квадратурної формули із фіксованою кількістю вузлів n. Значення початкового інтегралу знаходиться як сума:

Контрольні питання

1. Дайте опис методу обчислення визначених інтегралів за допомогою

метода Трапеції.

85

2.Наведіть розрахункову формулу розрахунку інтеграла методом Трапеції.

3.Дайте опис методу обчислення визначених інтегралів за допомогою метода Сіпсона.

4.Наведіть розрахункову формулу розрахунку інтеграла методом Сіпсона.

5.Дайте опис методу обчислення визначених інтегралів за допомогою метода Гауса.

6.Дайте опис методу обчислення визначених інтегралів за допомогою метода Чебишева.

7.Зробіть порівняльний аналіз методів Трапеції та Сімпсона.

8.Зробіть порівняльний аналіз методів Гауса та Чебишева.

86

Комп’ютерний практикум №8

Розв’язок нелінійних рівнянь

Мета

Опанування методи модульної побудови алгоритмів та їх реалізації за допомогою складних елементів алгоритмічної мови. Засвоїти методи розв’язоку нелінійних рівнянь.

Робоче завдання

Навчитись знаходити корені нелінійних рівнянь за допомогою методів Хорд та Ньютона.

Хід роботи

Написати програму для знаходження коренів рівняння.

Варіанти завдань

Стислі теоретичні відомості

розривівтаінших особливостей навідрізку [a, b].

87

Будь-яке значення (х=S), що надає функції нульове значення

0 називається коренем рівняння. Будемо вважати, що функція має ізольовані корені. Це означає, що для кожногокоренярівнянняіснуєдеяказона, вякійнемає інших коренів. Наближені числові методивизначення коренів рівняньздебільшого складаються з двох етапів. На першому етапі відокремлюються корені, тобто

Відокремлювати корені можна різними способами: аналітично, тобто використовуючи наведену теорему, графічно, тобто побудувавши графік зміни

хоча б один корінь і фіксуються. Після цього корені уточнюються до заданої точності якимось з методів. Доречі, цього можна досягти використавши описаний алгоритм, відповідно зменшуючи крок h тим самим рекурентно звужуючи відтинок, але це не дуже ефективний метод і здебільшого використовуються ітераційні методи а саме: метод хорд або метод дотичних (Ньютона).

88

дорівнює х, воно приймається за наступне наближення до кореня й описані дії повторюються. Водночас виконується порівняння попереднього й уточненого значення х, якщо їх різниця по абсолютній величині не перевищує константи точності , задана точність вважається досягнутою, процес обчислень переривається. Цей метод працює досить ефективно, але лише в разі влучного

невдалим, бо ітераційний процес розійдеться. Якщо ж перетворити його у

, то ітераційний процес зійдеться. З цього прикладу

неважко зрозуміти, при наближеному, а не точному значенні х нев’язка рівняння буде залежати головним чином від члену полінома з найвищим степенем, і саме

89