Лекція №

Геометричні характеристики плоских перерізів

Опір стержня різним видам навантаження, тобто його міцність залежить не тільки від матеріалу та розмірів стержня, а й від форми поперечного перерізу та розташування, тобто від геометричних характеристик перерізу.

Геометричні характеристики - це площа, статичний момент площі, момент інерції, радіус інерції, момент опору.

Розглянемо методи їх визначення:

1. Статичний момент площі. Координати центра ваги.

Розглянемо довільну фігуру (поперечний переріз стержня). Добуток елемента площі на відстань у від осі називається статичним моментом елемента площі відносно осі . Аналогічно для осі

- це статичні моменти елемента площі відносно осей - це та - це

Статичний момент площі відносно осі - це сума добутків площ нескінченно малих площадок на їх відстань до цієї осі

Статичний момент може бути , , та . Осі, що проходять через центр ваги і відносно яких , звуться центральними

Якщо С - центр ваги перерізу, то на підставі теореми про момент рівнодійної системи сил (теорема Вариньона):

-де та с координати центра ваги, звідси

Для складної фігури:

- тут - площі елементарних фігур, на які розбивається складний переріз. _, - координати центрів ваги елементів (простих фігур), беруться з урахуванням знаків.

Координати центра ваги складного перерізу:

Якщо у складного перерізу є отвори, то вони додаються з від'ємною площею.

2. Моменти інерції плоских перерізів.

Осьовим моментом інерції площі фігури називають інтеграл добутків елементарних площ на квадрати їх відстаней до розглядаємої осі.

Полярний момент інерції:

Якщо

- завжди (лише додатний знак).

Відцентрований момент інерції - це інтеграл

він може бути , , та Осі відносно яких

звуться головними осями інерції.

Дві взаємно перпендикулярні осі, з яких хоча б одна є віссю симетрії фігури, завжди будуть її головними осями інерції. Головні осі, що проходять через центр ваги перерізу, називають головними центральними осями. Осьові моменти інерції відносно головних центральних осей екстремальні, тобто один з них максимальний, інший - мінімальний.

Моменти інерції відносно осей, які паралельні

центральним.

Н ехай відомі моменти інерції фігури відносно центральних осей та

Визначим момент інерції відносно осей які паралельні центральним, тобто

Координати довільної точки в системі будуть дорівнювати:

Підставимо та у формулу для визначення моментів інерції і проінтегруємо почлено:

так як статичний момент площі

відносно центральної осі Z.

Тоді,

А налогічно:

Відстані а та у цих формулах слід підставляти з урахуванням їх знаків.

Визначення моментів інерції

1. Прямокутник.

Момент інерції

Площа елементарної частинки

Аналогічно:

Момент інерції відносно центральних осей знаходимо по формулам паралельного переносу;

А налогічно: