7. Циркуляція векторного поля. Ротор.

Розглянемо векторне поле

та деяку орієнтовану гладку криву в цьому полі.

Циркуляцією векторного поля вздовж кривоїназивається криволінійний інтеграл

. (7.1)

Згадаємо, що у силовому полі циркуляція означає роботу цього поля по переміщенню матеріальної точки вздовж кривої .

Якщо -радіус-вектор точки на кривій, то векторнаправлений по дотичній до кривої і , тоді формулу (7.1) можна записати у вигляді, де -проекція векторана вектор дотичної до кривої.

Часто розглядається циркуляція вздовж замкнутого контура , тоді прийнято записувати

.

Приклад 1.Знайти циркуляцію векторного поля вздовж лінії перетину циліндраз площиноюу додатному напрямі обходу відносно нормалі до площини, яка утворює гострий кут з віссю

Розв’язування. Записуємо параметричне рівняння кривої

.

Додатному обходу кривої відповідає зміна параметру віддо.

Маємо

Приклад 2.Знайти циркуляцію векторного поля лінійних швидкостей тіла, що обертається із сталою кутовою швидкістю навколо осі.

Розв’язування. Спочатку переконаємось, що поле лінійних швидкостей має вигляд

(7.2)

Як відомо з кінематики, лінійна швидкість через кутову швидкість виражається формулою, де -радіус-вектор точки тіла, що обертається відносно деякої точки осі обертання,-вектор кутової швидкості, відкладений на осі обертання, довжина якого дорівнює кутовій швидкості, а напрямлений так,що коли дивитись з його кінця, то обертання відбувається проти годинникової стрілки. Виберемо прямокутну систему так, що вісь-вісь обертання, тоді,

і приходимо до рівності (7.2).

Нехай контур лежить у деякій площині , нормаль до якої утворює гострий кут з віссю. Напрям обходу контура узгодимо з напрямом нормалі . При обчисленні циркуляції застосуємо формулу Стокса, маємо

,

де-площа поверхні , обмеженої контуром . Якщо врахувати, що ,то отримаємо.

При повороті площини (зміні кута )циркуляція змінюється. Найбільше значення вона матиме при , коли площина перпендикулярна до осі обертання. Коли площина перпендикулярна до площини, циркуляція дорівнює нулю.

Приклад 3.Знайти циркуляцію векторного поля по колу:

, у додатному нарямі обходу відносно одиничного вектора .

Розв’язування. Циркуляцію обчислюємо за формулою (7.1). Оскільки параметричне рівняння кола має вигляд , то безпосередньо обчисляємо циркуляцію, маємо

.

Нехай задане векторне поле

тоді ротор визначається рівністю

. (7.3)

Ротор векторного поля зручно записувати у вигляді символічного визначника, який розкривається за елементами першого рядка:

Використовуючи поняття ротора векторного поля, можемо формулу Стокса (3.9) записати у векторному вигляді:

(7.4)

Векторне поле породжує нове векторне поле- поле ротора .У формулі (7.4) маємо потік цього поля через поверхню . Звідси випливає наступний висновок:

Циркуляція векторного поля вздовж замкненого контура дорівнює потоку ротора цього поля через поверхню, яка цим контуром обмежується.

Розглянемо наступні приклади.

Приклад 1.Знайти ротор векторного поля у точці .

Розв’язування. Знайдемо ротор у довільній точці.

.

Підставляючи координати точки , отримуємо

.

Приклад 2.Знайти ротор векторного поля лінійних швидкостей при обертанні твердого тіла навколо осі.

Розв’язування. Записуємо і обчислюємо ротор

_.

Отже, ротор швидкостей тіла, яке обертається навколо осі з кутовою швидкістю , у кожній точці напрямлений вздовж вектора кутової швидкості і чисельно дорівнює подвоєній кутовій швидкості.

Приклад 3.Знайти циркуляцію векторного поля вздовж замкненого контура, що складається із ділянки гвинтової лінії

та відрізка прямої, що з’єднує точки та.

Розв’язування. Знаходимо ротор . Нехай поверхня, натягнута на контур, складається із двох частині, де-циліндрична поверхня, а- круг. На циліндричній поверхні вектор є ортогональним до нормального векторадо поверхні, а тому скалярний добутокдорівнює нулю. На поверхнімаємоі тому

. За формулою Стокса отримуємо

.

Означення. Векторне поле

_{задане в деякій просторовій області називається потенціальним, якщо існує в ції області неперервно диференційовна скалярна функція така що}

_.

Приклади для самостійного завдання

Знайти циркуляцію векторгого поля по контуру трикутника, що утворюється при перетині площиниз координатними площинами, при додатному напрямі обходу відносно нормалідо площини двома способами: а) за означенням циркуляції; б) за допомогою формули Стокса.

1.. (Відповідь:. )

2. . (Відповідь: . )

3. . (Відповідь: . )

4. . (Відповідь: . )

5. . (Відповідь: . )

6. . (Відповідь: . )

7. . (Відповідь: . )

8. . (Відповідь: . )

9. . (Відповідь: . )

10. . (Відповідь: . )

11. . (Відповідь: . )

12. . (Відповідь: . )

13. . (Відповідь: . )

14. . (Відповідь: . )

15. . (Відповідь: . )

16. . (Відповідь: . )

17. . (Відповідь: . )

18. . (Відповідь: . )

19. . (Відповідь:. )

20. . (Відповідь: . )

21. . (Відповідь: . )

22. . (Відповідь: . )

23. . (Відповідь: . )

24. . (Відповідь: . )

25. . (Відповідь: . )

26. . (Відповідь: . )

27. . (Відповідь: . )

28. . (Відповідь: . )

29. . (Відповідь: . )

30. . (Відповідь: . )