1)Похідну цієї функції у точці у напрямі вектора;
2)Величину та напрям найбільшої зміни функції у точці .
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
6.
.
7.
.
8.
.
9.
.
10.
.
11.
.
12.
.
13.
.
14.
.
15.
.
16.
.
17.
.
18.
.
19.
.
20.
.
21.
.
22.
.
23.
.
24.
.
25.
.
26.
.
27.
.
28.
.
29.
.
30.
.
6. Потік векторного поля. Дивергенція.
Розглянемо спочатку гідродинамічну задачу, яка допоможе зрозуміти поняття потоку векторного поля через деяку поверхню.
1.Нехай
всередині деякого каналу тече потік
води із швидкістю
.
У цьому потоці перпендикулярно до
вектора
установлена плоска пластина з площею
,
через яку протікає вода (наприклад,
фільтр).
Потоком
вектора
через пластину з площею
назвемо об’єм води, що протікає через
цю пластину за одиницю часу. Оскільки
всі частинки рідини рухаються з постійною
швидкістю, то за одиницю часу вони
перемістяться на відстань
.
Об’єм рідини, що пройде через
дорівнює об’єму циліндра з основою
і висотою
:
.
Отже у даному випадку потік
.
2.
Нехай тепер у тому ж каналі пластину
площею
установлено не перпендикулярно до руху
води, а під деяким кутом
. Тоді об’єм рідини, що пройде через
пластину з площею
,
дорівнює об’єму похилого циліндра з
площею основи
і висотою
і при цьому потік
.
3.
Нехай тепер буде не рівна пластина, а
деяка орієнтована поверхня
.
Розділимо поверхню
на маленькі частинки
,
,
площі яких позначимо
.
Сумарний потік
через поверхню
приблизно буде дорівнювати
.
Рівність буде тим точнішою, чим дрібніший
буде поділ поверхні
на частинки
.
Таким чином, приходимо до поверхневого
інтегралу.
Означення.
Потоком
векторного
поля
через
задану поверхню
в напрямку нормалі
називається поверхневий інтеграл
(6.1)
Приклад
1.Обчислити
потік векторного поля
через
верхню частину площини
,
розміщену в першому октанті.
Потік
через поверхню
знаходимо за формулою (6.1), маємо
(6.2)
Ортогональний
вектор до площини
записується в наступному вигляді
.
.
Оскільки
,
то це і вказує на верхню частину площини.
Таким чином, поверхневий інтеграл
другого роду
(6.2) зв’язаний з поверхневим інтегралом
першого роду:
.
(6.3)
Оскільки
рівняння площини
,
то елемент площі
і інтеграл (6.3) зводиться до подвійного
.
Приклад
2.Обчислити
потік векторного поля
через
зовнішню частину сфери
,
розміщену в першому октанті.
Потік векторного поля через поверхню записуємо по формулі (6.1)
Проекціями
даної частини сфери на координатні
площини
є одинакові четвертини кругів радіуса
і підінтегральні функції одинакові,
тому
.
Приклад
3.Знайти
потік векторного поля
через
повну зовнішню поверхню циліндра радіуса
і висотою
,
якщо початок координат знаходиться у
центрі нижньої основи циліндра, а вісь
циліндра збігається з віссю
.
Повна
поверхня
складається з бічної поверхні
,
нижньої основи
,
та верхньої основи
.
Тому
.
Рівняння
бічної поверхня циліндра
.
Звідси вектор нормалі до цієї поверхні
,
а тому направляючі косинуси
,
,
,
оскільки рівняння нижньої основи
,
то
.
Накінець отримуємо
,
.
Нехай
замкнена поверхня
обмежує деяку область
в
.
Розглянемо поле швидкостей
протіканння рідини,
-
потік через цю поверхню. Якщо
,
то це означає, що із
виливається більше рідини, чим вливається.
В цьому випадку говорять, що всередині
є джерела, які поповнюють потік рідини.
Якщо ж
,
то це означає, що в
є стоки, які поглинають рідину з потоку.
Отже, величина потоку
характеризує продуктивність джерел
(стоків), що знаходяться в області
,
її ще називають продуктивністю області.
Аналогічно,
потік довільного внкторного поля
через замкнену поверхню
називаютьпродуктивністю
області
,
яка обмежена цією поверхнею. Якщо
позначити через
об’єм області
,
то відношення
(6.4)
є
середньою продуктивністю джерел (стоків)
поля
всередині області
.
Якщо
область
зменшуючись стягується в точку
,
то таку границю прийнято називатидивергенцією
векторного поля
в точці
.
Отже за означенням
.
(6.5)
Використовуючи формулу Гауса-Острогорадського, фомулу (6.5) спростимо.
де
-
деяка точка всередині області
.
Якщо область
стягується в точку
,
то
.
Звідси випливає:
Якщо задане векторне поле
,
то його дівіргенція
.
(6.6)
Зауваження. Формулу Гауса-Остроградського (3.1) можна коротко записати, використовуючи рівність (6.6):
,
,
-
вектор ортогональний до поверхні
.
Дивергенція має наступні властивості.
1.
(Лінійність),
де
-
постійні числа.
2.Дивергенція
постійного вектора
дорівнює нулю,
.
3.Якщо
-неперервно
диференційовна скалярна функція, то
має місце рівність
.
(6.7)
Дійсно,
якщо
,
то
.
Підраховуючи
частинні похідні, отримуємо
,
,
.
Додаючи всі три рівності, приходимо до формули (6.7).
Приклади для самостійного завдання
Знайти
потік векторного поля
через
зовнішню поверхню піраміди, утвореної
площиною
та
координатними площинами, двома способами:
а)за означенням потоку;
б)за
допомогою формули Гауса-Остроградського.
1.
. (Відповідь:
.
)
2.
. (Відповідь:
.
)
3.
. (Відповідь:
.
)
4.
. (Відповідь:
.
)
5.
. (Відповідь:
.
)
6.
. (Відповідь:
.
)
7.
. (Відповідь:
.
)
8.
. (Відповідь:
.
)
9.
. (Відповідь:
.
)
10.
. (Відповідь:
.
)
11.
. (Відповідь:
.
)
12.
. (Відповідь:
.
)
13.
. (Відповідь:
.
)
14.
. (Відповідь:
.
)
15.
. (Відповідь:
.
)
16.
. (Відповідь:
.
)
17.
. (Відповідь:
.
)
18.
. (Відповідь:
.
)
19.
. (Відповідь:
.
)
20.
. (Відповідь:
.
)
21.
. (Відповідь:
.
)
22.
. (Відповідь:
.
)
23.
. (Відповідь:
.
)
24.
. (Відповідь:
.
)
25.
. (Відповідь:
.
)
26.
. (Відповідь:
.
)
27.
. (Відповідь:
.
)
28.
. (Відповідь:
.
)
29.
. (Відповідь:
.
)
30.
. (Відповідь:
.
)