Іi.Вступ до математичної теорії поля

Якщо в кожній точці деякого простору чи його частини визначено значення деякої фізичної величини, то говорять, що узадане поле даної величини.

Так, наприклад, температура повітря в різних точках простору утворює поле температур, а атмосферний тиск – поле тиску, кожний електричний заряд утворює навколо себе поле електростатичного потенціалу та інші поля.

У всіх випадках , коли мова йде про процес, який характеризується скалярною величиною (температура, тиск і т.д.), поле називається скалярним.

Тепер перейдемо до математичного визначення поля.

Нехай в області деякого простору задана числова функція точки(-люба точка із). Тоді говорять, що увизначено скалярне поле. Припускається, що функціяє однозначною і приймає дійсні скінченні значення. Якщо в просторі введена декартова система координат, тоє функцією від трьох змінних:, або, що є тим же самим, функцією від одного векторного аргументу- радіуса-вектора точкиобласті:.

Відмітимо, що величина, яка характеризує скалярне поле може також залежати від часу, ми обмежимось розглядом полів стаціонарних, які не залежать від часу.

Поряд з полями, визначеними в просторових областях, часто приходиться розглядати плоскі поля, тобто такі, які залежать тільки від аргументів і:. Прикладом плоского поля може бути освітленість частини площини від деяких джерел світла.

Скалярне поле можна визначати графічно за допомогою поверхностей рівня, тобто таких поверхонь, при яких . Знаючи вигляд графіків поверхонь рівня при різних значеннях постійної , отримуємо відомості про саме скалярне поле .

Похідна скалярного поля у заданому напрямі. Градієнт.

Нехай задано задано гладке скалярне поле . В багатьох задачах нас цікавить швидкість зміни значень цього поля при русі в певному заданому напрямку, тобто похідна скалярного поляв деякій фіксованій точціу напрямку вектора.

Через фіксовану точку проведемо пряму паралельну вектору ,на цій прямій вибираємо довільну точку (відмінну від )і розглянемо відношення

(5.1)

де в знаменнику - віддаль від точкидо точкиіз знаком +, якщо вектормає той же напрямок,що іі вибирається із знаком (-), якщо напрямки векторів,є протилежними. Якщо існує скінченна границя відношення (5.1) при прямуванні точкидо точки, то цю границю називають похідною скалярного поляв точціпо напрямку вектораі записують

. (5.2)

Якщо гладке скалярне поле записане в певній системі координат і точка з координатами , то похідна скалярного поля в точціпо напрямку вектора обчислюється за формулою

(5.3)

Дійсно, якщо координати точки записати у вигляді

, ,,,

то віддаль між точками і дорівнює

. Підставляючи в рівність (5.1), отримуємо

.

Переходячи до границі при отримуємо рівність (5.3).

Слід звернути увагу, що у формулі (5.3) коєфіцієнти

є направляючими косинусами вектора , .

Якщо є деяка гладка скалярна функція , то вектор

прийнято називати градієнтом функції .

Таким чином, формулу (5.3) можна записати у вигляді скалярного добутку

, (5.4)

де ,.

Враховуючи те, що скалярний добуток двох векторів ,дорівнює, де- кут між цими векторами, формулу (5.4) можна записати

Звідси випливає, що похідна по напрямку приймає найбільше значення при , тобтоі це найбільше значення дорівнює довжині градієнта: .

Таким чином, введене поняття вектора-градієнта має дві основні властивості, що характеризують його фізичний зміст та незалежність від вибору системи координат:

1. Градієнт у кожній точці скалярного поля – це вектор, що вказує напрям найбільшого зростання поля у даній точці, а його довжина дорівнює швидкості зростання поля у цьому напрямі.

2. Градієнт у кожній точці поля є вектором перпендикулярним до поверхні (лінії) рівня, яка проходить через цю точку.

Приклад 1. Знайти похідну функції в точці по напрямку, де точка.

Вектор має довжину, направляючі косинуси цього вектора:.

, ,

Зауваження. Формула (5.4) для обчислення похідної по напрямку залишається справедливою і в тому випадку, коли точка прямує до точки по кривій, для якої вектор є дотичним в точці.

Приклад 2. Найти похідну скалярного поля в точціпо напрямку кола.

Векторне рівняння кола утвореного в перетині циліндра і площинизапишемо у наступному вигляді.

Точці відповідає значення параметру . Находимо вектор

дотичний до кола: . Підставимо значення, отримуємо. Таким чином, направляючі косинуси одиничного векторатакі. Обчислимо градієнт скалярного поля:

,

. Звідси отримуємо шукану похідну по напрямку:

Звернемо увагу на деякі властивості градієнта.

Нехай задані два гладких скалярних поля ,, тоді

1.,

2. ,

3. .

4. Якщо -диференційовна скалярна функція, то

Приклад 3. Знайти градієнт електростатичного поля

утвореного точковим зарядом .

Приклад 4.У якому напрямку повинна рухатись точка при переході через точку, щоб функціязростала з найбільшою швидкістю.

Щоб функція зростала найшвидше, точка повинна рухатись у напрямі градієнта функції в точці .

, .Таким чином, найбільша швидкість росту функції: .

Векторне поле.

Якщо в кожній точці простору або деякої його частинивизначений вектор

, (5.5)

то говорять, що у визначеневекторне поле.

Якщо векторне поле визначене на площині або на частині

цієї площини:,то поле називається плоским.

Однією з важливих характеристик векторного поля являється векторна лінія, або силова лінія . Векторная лінія-це така гладка крива, дотична в кожній точці якої збагається з напрямом вектором .

Як знайти векторні лінії?

Нехай визначене векторне поле (5.5), де функції є неперервними і мають обмежені частинні похідні першого порядку. Нехай далі-радіус-вектор точки, яка рухається вздовж векторної лінії поля (5.5) Із означення векторної лінії поля випливає, що вектор (5.5) і вектор дотичний до кривої

повинні бути паралельними. Умовою паралельності векторів є пропорціональність координат:

. (5.6)

Система (5.6) є системою диференціальних рівнянь векторних ліній векторного поля (5.5).

Приклад. Знайти векторні лінії векторних полів

а) ;

б) .

Запишемо систему (5.6)

(5.7)

Із першого рівняння отримуємо ,.

Враховуючи рівність , із другого рівняння системи (5.7) отримуємо.

Таким чином, векторними лініями поля є сімейство кіл, які утворуються при перетині сімейства сфер і площин паралельних осі .

б) . Записуємо рівняння (5.6), маємо

. Звідси отримуємо і, що приводить до сімейства поверхонь (гіперболічні циліндри): , . Люба векторна лінія нашого поля є перетин цих двох поверхонь при певних сталих :. Серед цих поверхонь є і площини при. Вибираючи, наприклад, дві площиниі , отримаємо пряму , яка є векторною лінією нашого поля.

Приклади для самостійного завдання

Дана функція та точки. Знайти: