Связь угловых и линейных величин

Рассмотрим движение тела по окружности. Скорость, с которой тело движется по окружности, называют линейной скоростью. Она находится по формуле

(7)

Выясним, какова связь между линейными и угловыми величинами при движении тела по окружности. Линейными величинами являются путь, скорость, касательное и нормальное ускорения, а угловыми угол поворота, угловая скорость и угловое ускорение.

Найдём связь между угловой и линейной скоростью. Из геометрии известно, что длина дуги lцентрального угла равна произведению угла, измеренного в радианах, на радиус окружностиR, т.е.l = R. Продифференцируем это выражение по времени:(Rвынесена за знак производной, поскольку она постоянная). НоТогда получаем, что

 = R. (8)

Продифференцируем выражение (8) по времени Ноамодуль углового ускорения. Поэтому

a_ = R. (9)

Подставляя выражение (7) в формулу (4), получаем для модуля нормального ускорения

a_n = ^R. (10)

Таким образом, при движении материальной точки по окружности для описания её движения можно пользоваться как линейными, так и угловыми величинами. Однако при вращении твёрдого тела удобно использовать угловые величины, а не линейные, поскольку уравнения движения разных точек, выраженные в угловых величинах, одинаковы для всех точек тела, в то время как при пользовании линейными величинами они различны.

Кинематика твёрдого тела

До сих пор изучалось движение тел, которые можно было рассматривать как материальные точки. Рассмотрим теперь движение протяжённых тел. При этом будем считать тела абсолютно твёрдыми (твёрдыми). Под твёрдым телом в механике понимается тело, взаимное расположение частей которого в условиях данной задачи считается неизменным.

Существует два вида движения твёрдого тела: поступательное и вращательное. Поступательным называется движение, при котором прямая, соединяющая любые две точки тела, движется в пространстве параллельно самой себе. Привращательном движениивсе точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной прямой, называемойосью вращения. Любое сложное движение можно представить как результат сложения поступательного и вращательного движений.

Рассмотрим поступательное движение. При этом движении все точки тела проходят одинаковые пути. Поэтому они имеют одинаковые скорости и ускорения. Отсюда следует, что для описания такого движения тела достаточно выбрать на нём произвольную точку и использовать формулы кинематики материальной точки. Обычно выбирают его центр тяжести.

При вращательном движении разные точки твёрдого тела проходят различные пути и, следовательно, обладают разными скоростями и ускорениями. Вследствие этого для характеристики такого движения надо выбирать такие величины, которые будут одинаковыми в данный момент времени для всех точек тела. Ими являются угол поворота, угловая скорость и угловое ускорение.

Динамика поступательного движения

Из первой лекции видно, что кинематика описывает движение и не рассматривает причины его вызывающие. Однако именно этот вопрос важен с практической точки зрения. Изучением взаимосвязи движения и сил, действующих в механической системе, и занимается динамика. Основу динамики составляют три закона Ньютона, являющиеся обобщением большого числа опытных данных. Прежде, чем перейти к их рассмотрению, введём понятия силы и массы тела.

СИЛА.

В повседневной жизни нам постоянно приходится сталкиваться с различными взаимодействиями. Например, с притяжением тел к Земле, отталкиванием и притяжением магнитов и токов, текущих по проводам, отклонением электронных пучков в электронно-лучевых трубках при действии на них электрических и магнитных полей и т.д. Для характеристики взаимодействия тел и вводится понятие силы. В механике сила, действующая на тело, является мерой его взаимодействия с окружающими телами. Действие силы проявляется в деформации тела или в приобретении им ускорения. Сила —это вектор. Поэтому она характеризуется модулем, направлением и точкой приложения.

МАССА

Как следует из опыта, тела обладают способностью противодействовать изменению скорости, которой они обладают, т.е. они противодействуют приобретению ускорения. Это свойство тел было названо инертностью. Для характеристики инертных свойств тел используют физическую величину, называемуюмассой. Чем больше масса тела, тем оно инертнее. Кроме того, вследствие гравитационных сил все тела притягиваются друг к другу. Модуль этих сил зависит от массы тел. Таким образом, масса характеризует и гравитационные свойства тел. Чем она больше, тем больше сила их гравитационного притяжения. Итак,масса — это мера инертности тел при поступательном движении и мера их гравитационного взаимодействия.

В системе единиц СИ масса измеряется в килограммах (кг).