Лекция №1

Основы механики

Элементы кинематики

Основные понятия кинематики материальной точки

1. Материальная точка. Материальной точкой (или точечным телом) называют тело, размерами которого можно пренебречь в данной задаче. (Привести примеры).

2. Система отсчёта. Механическим движением называется изменение взаимного расположения тел или частей одного и того же тела в пространстве с течением времени. О механическом движении можно говорить, если указана система отсчёта. Система отсчёта включает в себя:

1) Тело отсчёта, т.е. тело, которое условно принимается за неподвижное и относительно которого рассматривается движение других тел. С телом отсчёта связывают систему координат. 2) Прибор для измерения времени.

3. Радиус-вектор. Положение материальной точки в пространстве определяется радиус-вектором , т.е. вектором, проведённым из начала координат в данную точку.

4. Траектория движения. Воображаемая линия, которую описывает материальная точка при движении, называется траекторией. Форма траектории зависит от выбора системы отсчёта, т.е. форма траектории — понятие относительное. (Привести примеры).

5. Перемещение. Путь.При описании движения тела надо уметь определять изменение его положения. С этой целью вводятся понятия перемещения тела и пути, пройденного им.Перемещением называется вектор, проведённый из начального положения материальной точки в конечное положение (векторна рис. 1). Длину участкаl, пройденного материальной точкой по траектории, называютпутёмилидлиной пути.

Рис. 1

6. Скорость.Для характеристики быстроты движения вводят физическую величину, называемуюскоростью. Пусть за элементарный промежуток времениdtматериальная точка совершает элементарное перемещение. Тогда скоростьюназывают отношение

(1)

т.е. скорость — это перемещение, совершённое за единицу времени при условии, что она остаётся неизменной. С точки зрения математики скорость является производной радиус-вектора по времени, поскольку элементарное перемещение и элементарный промежуток времени можно рассматривать как дифференциалы радиус-вектора (функции) и аргументаt. В любой точке траектории скорость, которая является вектором, направлена по касательной к ней. В системе единиц СИ единицей скорости является 1 м/с.

7. Ускорение.Быстроту изменения скорости характеризуют ускорением. Пусть в течение элементарного промежутка времениdtэлементарное изменение скорости равно. Тогда ускорениенаходится по формуле

(2)

Таким образом, ускорениеэто изменение скорости за единицу времени. С точки зрения математики ускорениепроизводная скорости по времени. В системе единиц СИ единица ускорения — 1 м/с².

Скорость тела в общем случае изменяется как по модулю, так и по направлению. Поэтому при криволинейном движении вектор ускорения составляет некоторый угол с вектором скорости. Разложим вектор ускорения на две составляющие: вдоль направления скорости и перпендикулярно к ней (рис. 2). Составляющая направлена по касательной к траектории движения либо по направлению скорости, либо против неё. Поэтому её называют касательным или тангенциальным ускорением. Оно характеризует быстроту изменения скорости только по модулю и вычисляется по формуле:

(3)

Составляющая направлена перпендикулярно к скорости. Поэтому она называется нормальным ускорением. Оно характеризует быстроту изменения скорости только по направлению и вычисляется по формуле:

(4)

Рис. 2

8. Угловая скорость.Угловое ускорение. Для характеристики быстроты вращения тела вводится угловая скорость. Пусть за времяdtрадиус-вектор, соединяющий тело с центром окружности, поворачивается на элементарный уголd. Тогда угловая скорость равна

= . (5)

Рис. 3

т.е. угловая скорость равна углу поворота, совершённого за единицу времени, или производной угла поворота по времени. Угловая скорость является вектором. Направление угловой скорости находится по правилу правого винта: если вращать винт в направлении вращения, то его поступательное движение даёт направление угловой скорости (рис. 3).

Для характеристики быстроты изменения угловой скорости вводят понятие углового ускорения. Пусть за элементарный промежуток времени dt угловая скорость изменилась на величинуТогда угловое ускорениеравно

(6)

т.е. угловое ускорение — изменение угловой скорости за единицу времени. С точки зрения математического анализа угловое ускорение — производная угловой скорости по времени.

В системе единиц СИ единицей угловой скорости является 1 рад/с, а углового ускорения —1 рад/с².