лекции Каюмова по сопромату

Решение его известно и имеет вид:

t 0 можно записать:

бет 0 cr

Проведем теперь расчет на долговечность. Под термином долговечность будем понимать время t*, в течение которого удовлетворяются условия прочности. Имеем:

прочности σ* (ниже учтено, что при сжатии напряжения отрицательны):

51

Перенося первое слагаемое вправо и логарифмируя это уравнение, получим:

Это и есть время, по достижении которого произойдет разрушение арматуры. Из решения видно, что это произойдет только в том случае, если сила F достаточно велика, а именно, если выражение под логарифмом будет

быть и слишком большой, при которой произойдет мгновенное разрушение. Это будет тогда, когда t*=0, т.е., когда квадратная скобка равна нулю.

9.6.2. Условие независимости напряжений от времени в конструкциях из вязкоупругих материалов

Отметим следующий интересный факт. Оказывается, если материалы, из которых изготовлены конструкции, обладают линейно-вязко-упругими свойствами, причем они имеют коэффициенты вязкости, пропорциональные жесткостям этих материалов, то напряжения в конструкции не изменятся с течением времени (то есть релаксации не происходит, а происходит только деформация конструкции).

Проверим это на примере железобетонной колонны.

52

Условие совместности деформации:

армарм арм

Еарм creep

Возьмем производную по времени:

Согласно закону ползучести имеем:

53

упругая, следовательно, из предыдущих лекций можно записать решение:

В теории линейных дифференциальных уравнений существует теорема: если найдено решение уравнения, которое удовлетворяет всем начальным условиям, то оно единственное.

Примем, как говорилось выше, что вязкость стали, так же как и модуль упругости, в 5 раз больше вязкости бетона:

дифференциального уравнения, следовательно, оно единственное. Таким образом, в арматуре напряжение не изменится со временем, следовательно, и в бетоне не будет релаксации (это следует из. (9.17)).

Что и требовалось показать.

9.7Теория накопления микроповреждений

Влюбом теле существуют микротрещины и микропоры. Под нагрузкой c течением времени эти микротрещины возрастают в размерах.

54

Через некоторое время их размеры достигают критических величин, после чего начинается неудержимый рост трещины, и разделение тела на части.

На основе анализа экспериментов были выявлены законы развития микротрещин (см. в монографии Работнова Ю.Н. [3]). Эта теория позволяет определить время, в течение которого конструкция выдерживает внешнюю

длина микротрещины при котором начинается неудержимый еѐ рост .

Введем параметр поврежденности:

Здесь (9.23) – начальное условие, (9.24) – условие разрушения.

Закон подрастания трещины, предложенный Работновым Ю.Н., можно представить в виде:

характеристики материала.

Процедура вычисления t * состоит из следующих этапов:

1)Определяется напряжение в конструкции в каком-то сечении

уравнение (9.25).

3)Из начального условия (9.23) находятся константы интегрирования.

4)Из условия прочности (9.24) находится критическое время t *.

Рассмотрим примеры.

55

Р 40 kH

Слева и справа одинаковые функции, значит и первообразные от них равны, или отличаются на константу.

Отсюда t*=125 лет (т.е., колонна не разрушаясь простоит 125 лет).

Р

Пример №2:

Задача о накоплении повреждений в железобетонной колонне

сучетом ползучести.

Стечением времени ввиду релаксации (отдыха) бетона все большую часть нагрузки начинает воспринимать арматура.

То есть, напряжения в бетоне стремятся к нулю. Таким образом, если не учесть накопления повреждений, то напряжение в бетоне уменьшается и его разрушение никогда не наступит.

56

Однако, это не так. Решим задачу о разрушении колонны в результате накопления повреждений.

Получили обыкновенное дифференциальное уравнение, которое легко решается

Пусть В=0.01см2/(т лет), n=1. Тогда получим:

Легко проверить, что решение этого уравнения можно записать в виде:

Константу с находим из начального условия при t = 0:

Логарифмируя обе части, получим:

существует t* , то есть, бетон успеет отрелаксировать и не разрушиться. Если ( Bkc ) > 0 , то можно найти критическое время t*, по достижении которого произойдет разрушение колонны.

57

10. РАСЧЕТ СТЕРЖНЕЙ И СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ НА ЖЕСТКОСТЬ

Стержень называется жестким, если при рабочих нагрузках он деформируется в пределах нормы.

Пусть [ l ] – допустимое значение удлинения, тогда должно быть:

l

Рис.10.2

Пример:

Пусть =0.5см, Е=2000 kH.

Тогда

N1 10kH

N2 30kH

Рис.10.3

Первый стержень удлиняется, второй укорачивается.

58

Стержневые системы

Сложнее с системами стержней. Это системы типа ферм или жестких элементов, удерживаемых стержнями с шарнирными закреплениями.

P

v1 v2

Рис.10.4

Условия жесткости для таких систем могут содержать требования ограничения, например, только вертикальных составляющих перемещений в виде:

10.1. Формула Мора для вычисления перемещения конструкции

Рассмотрим деформацию бруса:

Рассмотри задачу отыскания перемещения СС . Разложим его на вертикальную и горизонтальную составляющие. Тогда:

перемещения, полученные при действии внешней силы Р .

Далее рассмотрим другую, фиктивную задачу для нашей конструкции, а именно, приложим единичную силу Т по вертикали в рассматриваемой точке С.

59

Здесь все малые элементы тоже получают деформации. Введем обозначения: (T ) , (T ) ,u(T ) , v(T ) - напряжения, деформации, перемещения, полученные при действии силы Т.

Для вычисления в точке С применим закон сохранения энергии в варианте принципа возможных перемещений,. В качестве возможных

малых элементов). Подсчитаем ее.

Рассмотрим малый элемент. Сила его растяжения - будет:

WT dWT (T ) ( P)dV (T ) ( P)dV .

Для удобства счета полагают Т=1, тогда формула Мора принимает

вид:

60