лекции Каюмова по сопромату

v (0) 0 .

Подставляя сюда (16.22) получаем:

v e s C3 sin s C4 cos s s 0 e s C3 cos s C4 sin s s 0 0 . (16.23)

Рис.16.18

Как видно из рис.16.18, в сечении под силой (при s = 0) согласно определению поперечной силы:

Из уравнения (16.18) получим:

111

Анализ решения.

Изобразим графически полученные решения. Если нет силы Р, то согласно решению балка оседает как жесткое тело на величину vчаст (см.рис. 16.19).

затухающий характер, как это изображено на рис. 16.20. Видно, что при отсутствии силы веса под действием только силы Р некоторые области балки приподнимаются над нулевым уровнем грунта.

Балка не будет приподниматься над первоначальным уровнем (т.е. будет отрицательным) только тогда, когда:

Суммарная осадка балки для этого случая изображена на рис.16.21.

Рис.16.21

Практические выводы из решения. Для того чтобы фундамент или дорожное полотно, не отрывались от грунта под действием сосредоточенной

силы необходимо, чтобы погонный вес фундамента или полотна был достаточно большой. Это означает, что толщина фундамента или дорожного полотна должна быть достаточно велика.

112

17. ПОТЕРЯ УСТОЙЧИВОСТИ

Пусть сила Р приложена в центре тяжести сечения стержня. На первый взгляд у силы Р нет плеча, значит M x 0 , значит, для изгиба нет причин.

Это справедливо при малых Р. Однако при некотором значении Р происходит резкая смена прямолинейной формы в криволинейную при малейшем поперечном воздействии (см.рис.17.2).

Это явление называется потерей устойчивости.

Сила Р, при которой это происходит, называется критической, а соответствующее ей напряжение называют критическим напряжением:

Опыт показывает, что для потери устойчивости стержня требуется меньшая сила, чем для разрушения сжатием, например, кубика из того же материала. Таким образом:

здесь Р* - разрушающая сила, σ* - предел прочности на сжатие.

Уменьшая критическое напряжение σкр на коэффициент запаса kуст получают допустимое напряжение [σ]уст , больше которого не должно быть рабочее напряжение:

|σ| ≤[σ]уст.

Для удобства расчетов часто пользуются таблицами, в которых приводится коэффициент υ, показывающий, насколько [σ]уст меньше основного допустимого напряжения [σ]:

υ=[σ]уст / [σ].

Если на растяжение и сжатие разрушающие напряжения различны, то под υ понимают величину:

υ=[σ]уст / [σ]сж.

113

17.1 Формула Эйлера

Действительно, легко проверить, что после подстановки (17.3) в (17.2) слева получиться то же самое, что и справа.

Константы В и С отыскиваем из условий закрепления: (1): s 0, v 0 на левом краю

(2): s l, v 0 на правом краю

114

Рассмотрим решения (17.4).

115

Мы рассмотрели изгиб в плоскости листа, аналогично можно рассмотреть изгиб из листа, тогда получим:

моментом инерции. Таким образом, нужно взять тот случай, в котором момент инерции меньше:

Известно, что момент инерции достигает наименьшего значения относительно одной из главных центральных осей. Следовательно, для

моменты, а затем выбрать из них наименьшее.

Отметим особенности применения формулы (17.8)

1)Здесь предполагалось, что в обеих плоскостях опоры - шарнирные.

2)При выводе формулы предполагалось, что стержень упругий и

соблюдается закон Гука, поскольку уравнение изогнутой оси балки получено при условии, что стержень линейно упругий. Следовательно, формула верна только тогда, когда справедлив закон Гука.

Рис. 17.6

Таким образом, формула Эйлера справедлива только тогда, когда:

116

Будем пользоваться геометрической аналогией. Эта задача аналогична

приведенной ниже: 2l

Pкр

Рис. 17.8

Правая еѐ половина точно такая же, как балка, рассматриваемая на рис.17.7, следовательно:

Рассмотрим теперь случай защемления с двух концов:

Рис. 17.9

Здесь только половина балки (еѐ средняя часть) изгибается как шарнирная (см. рис.17.10):

l 2

Рис. 17.10

117

Введем параметр n – число волн, которые образуются при продольном изгибе балки, тогда получим:

Пользуясь этой аналогией, получим еще одну (приближенную) формулу для случая, изображенного на рис. 17.11:

Рис. 17.11

Врасчетной практике вместо n используют - коэффициент

Запишем формулу Эйлера с помощью нового обозначения:

118

Таким образом, формула Эйлера применима, если:

*

То есть, если условная длина достаточно большая, то формула Эйлера применима. Поэтому такие стержни называют длинными.

17.4 Формула Ясинского

119

a2,66 Tсм2 26, 6 kHсм2

b0,0066 Tсм2 0,066 kHсм2

Кроме того, для стали предел текучести

Это означает, что для изгиба стержня-образца требуется больше усилий, чем для того, чтобы сплющить этот образец. Поэтому формула Ясинского справедлива только тогда, когда:

Это условие применимости формулы Ясинского.

17.5 Продольный изгиб

Снова рассмотрим изгиб балки под действием продольной центральной силы Р, но предварительно изогнутой приложенными по концам сосредоточенными моментами m (см. рис. 17.12). Этот момент может быть вызван внецентренным нагружением продольной силой Р, если он имеет эксцентриситет е. Тогда m=Ре.

120