лекции Каюмова по сопромату

Рис. 17.12

Тогда из выражения для В вытекает, что

Следовательно, при Р→Ркр получаем неограниченно большие прогибы:

v Sin as ms2 / 2 .

Таким образом, при внецентренном сжатии (или при наличии предварительного изгиба) балка может выдержать продольную сжимающую силу, которая не может быть больше Ркр.

121

18. КРУЧЕНИЕ ВАЛОВ

18.1. Кручение круглых валов

Брусья круглого сечения, которые в конструкциях работают на кручение, часто называют валами. Примером закрученных брусьев являются, например, стойки рекламных щитов (рис.18.1).

Рис.18.1.

Возникают 2 задачи:

1.Проверка прочности валов (т.е. не возникнет ли опасности разрушения вала при заданных нагрузках).

2.Проверка жесткости валов (т.е. не слишком ли он сильно деформируется при заданных нагрузках).

18.2. Напряжения в сечениях вала

Рассмотрим сечение I-I (см. рис.18.2). Считаем вал состоящим из двух частей - левой и правой. Левая часть действует на правую некоторым моментом (у нас это Мz = m1 – m2).

Определение. Суммарный момент, которым левая часть вала воздействует на првую (или наоборот), называется крутящим моментом

расчетов знак крутящего момента не имеет значения, но для определенности его можно ввести таким же образом, как и в теоретической механике. А именно, вклад внешнего момента (например, т3 на рис.18.2) в крутящий момент M z положителен, если он действует справа и переводит ось «х» в ось «у» против часовой стрелки при условии, что мы смотрим с положительного конца оси z. Например, на первое сечение действует M z m3 .

Рассечем теперь вал плоскостью II-II (рис.18.2). Тогда

M z m2 m3 .

122

Рис.18.2

Это дает одно и то же, так как из условия равновесия вала следует, что:

m1 m3 m2 .

Закон распределения касательного напряжения

Поскольку правая часть воздействует на сечение I-I не в одной точке, а по всему сечению, то картина воздействия будет такая, как это изображено на рис.18.3.

Рис.18.3

Распределенное воздействие правой частью бруса на плоскость сечения по определению будет касательным напряжением .

способами. Рассмотрим сначала первый (не традиционный) способ.

Из рассмотрения рис.18.3 можно заключить, что в силу

Поскольку мы рассматриваем тела типа брусьев, у которых размеры поперечного сечения много меньше длины, то будет малой величиной по

123

Теперь рассмотрим малый элемент около центра сечения:

Из рисунка видно, что при стремлении размера элемента к нулю напряжение τ в одной и той же точке должно быть направлено и вверх, и вниз, и влево, и вправо. Это возможно, если только оно равно там нулю:

Теперь приведем второй, традиционный способ. Для этого проводят следующие рассуждения. Вырежем диск толщины а (рис 18.3). Из этого диска радиуса R, вырежем малый диск радиуса .

Рассмотрим прямоугольник BCDK . При кручении точка D перемещается в точку D , точка C перемещается в точку C . Видим, что BCDK получит сдвиг.

Рис.18.5

Из рисунка видно, что:

124

Рис.18.6

Относительно оси z они создают моменты:

125

Интеграл представляет собой геометрическую характеристику, которая называется полярным моментом инерции и обозначается:

J p 2 dA .

A

Видно, что центральная часть вала мало загружена, следовательно, можно центральную часть убрать без ущерба для прочности вала. Поэтому валы делают полыми. Тогда:

126

18.3. Расчет вала на жесткость

Под действием внешних моментов сечения вала закручиваются на некоторый угол , который называется углом закрутки (рис.18.10). Кроме выполнения условий прочности заказчик конструкций обычно требует, чтобы был ограничен и этот угол закрутки. Такое требование называется

Примечание: Иногда ставится другое или дополнительное ограничение в виде условия жесткости по погонному углу закрутки.

Рассмотрим случай, когда вал состоит из ряда участков (рис.18.12). Найдем угол поворота υ правого торца относительно левого. Для этого по формуле (18.10) сначала найдем 1 - поворот среднего сечения относительно

127

Примечание 1:

Легко обнаружить, что математически задача кручения круглых валов полностью аналогична задаче о растяжении (сжатии) составных брусьев.

Например, из рис.18.13 вытекает, что

Рис.18.13

Примечание 2:

При изображении эпюр крутящих моментов имеет место следующее правило контроля: там где есть сосредоточенный момент, там есть скачок на величину этого момента. Это правило легко проследить на примере, приведенном на рис.18.14.

Рис.18.14

18.4. Свободное кручение тонкостенных стержней

Существует 2 вида тонкостенных стержней:

128

1)Стержень замкнутого профиля (с замкнутым контуром), изображенный на рис.18.15.

Рис.18.15

2) Стержень с открытым контуром профиля (рис.18.16)

Рис.18.16

Кручение тонкостенных стержней может быть свободным или

стесненным.

Если крепление концов стержня не вызывают реактивных моментов, то такое кручение называется свободным (см. рис.18.17).

Стесненное кручение возникает тогда, когда хотя бы один конец стержня закреплен так, что это приводит к появлению реактивных моментов

(см. рис.18.18).

18.5. Напряжения при свободном кручении тонкостенных стержней замкнутого профиля

Рассмотрим тонкостенный стержень с замкнутым профилем (рис.18.19)

S

m

делят стенку пополам (рис.18.20). В общем случае толщина t стенки может быть переменной, т.е. t t( )

129

разными при разных ξ. Вырежем элемент стержня (см. рис.18.20, рис.18.21). В силу закона парности на верхней грани действует 2 , а на нижней - 1 .

Запишем уравнение равновесия в виде равенства нулю суммы сил на продольную ось s.

Эта сила создает момент около точки О:

dM dQ a .

Найдем сумму всех dM:

dM dQ a d t a .

A A

130