lecture_kaumov

Получили дифференциальное уравнение относительно неизвестнойбет . Умножая его на Eарм и деля на 7 получим:

Решение его известно и имеет вид:

Анализ решения:

Из последнего выражения видно, что при больших t напряжениебет становится все меньше и меньше, т.е. стремится к нулю.

Таким образом, с течением времени бетон разгружается. Определение: такое явление называется релаксацией или отдыхом

материала.

Арматура, напротив, в это время догружается, значит при больших t

Проведем теперь расчет на долговечность. Под термином долговечность будем понимать время t*, в течение которого удовлетворяются условия прочности. Имеем:

арм Аарм бет Абет F

Поделим на Аарм, тогда получим:

Пусть в момент t*, в арматуре напряжение арм достигает предела прочности σ* (ниже учтено, что при сжатии напряжения отрицательны):

51

Перенося первое слагаемое вправо и логарифмируя это уравнение, получим:

Это и есть время, по достижении которого произойдет разрушение арматуры. Из решения видно, что это произойдет только в том случае, если сила F достаточно велика, а именно, если выражение под логарифмом будет

быть и слишком большой, при которой произойдет мгновенное разрушение. Это будет тогда, когда t*=0, т.е., когда квадратная скобка равна нулю.

9.6.2. Условие независимости напряжений от времени в конструкциях из вязкоупругих материалов

Отметим следующий интересный факт. Оказывается, если материалы, из которых изготовлены конструкции, обладают линейно-вязко-упругими свойствами, причем они имеют коэффициенты вязкости, пропорциональные жесткостям этих материалов, то напряжения в конструкции не изменятся с течением времени (то есть релаксации не происходит, а происходит только деформация конструкции).

Проверим это на примере железобетонной колонны.

52

упругая, следовательно, из предыдущих лекций можно записать решение:

В теории линейных дифференциальных уравнений существует теорема: если найдено решение уравнения, которое удовлетворяет всем начальным условиям, то оно единственное.

дифференциального уравнения, следовательно, оно единственное. Таким образом, в арматуре напряжение не изменится со временем, следовательно, и в бетоне не будет релаксации (это следует из. (9.17)).

Что и требовалось показать.

9.7Теория накопления микроповреждений

Влюбом теле существуют микротрещины и микропоры. Под нагрузкой c течением времени эти микротрещины возрастают в размерах.

54

Через некоторое время их размеры достигают критических величин, после чего начинается неудержимый рост трещины, и разделение тела на части.

На основе анализа экспериментов были выявлены законы развития микротрещин (см. в монографии Работнова Ю.Н. [3]). Эта теория позволяет определить время, в течение которого конструкция выдерживает внешнюю нагрузку без разрушения. Это время t* назем критическим временем.

Рассмотрим трещину, длины b. Пусть b- приращение трещины, bкрит -

длина микротрещины при котором начинается неудержимый её рост .

Введем параметр поврежденности:

Здесь (9.23) – начальное условие, (9.24) – условие разрушения.

Закон подрастания трещины, предложенный Работновым Ю.Н., можно представить в виде:

Здесь точка означает дифференцирование по времени, B,n - механические характеристики материала.

Процедура вычисления t* состоит из следующих этапов:

1)Определяется напряжение в конструкции в каком-то сечении

2)После подстановки в закон (9.25) решается дифференциальное уравнение (9.25).

3)Из начального условия (9.23) находятся константы интегрирования.

4) Из условия прочности (9.24) находится критическое время t*. Рассмотрим примеры.

55

Константу С найдем из начального условия (9.23):

(0)=0

Найдем критическое время t* для колонны (ее долговечность) из условия (9.24). Подставляя ω=1 в (9.27) получаем:

-(1-1)2 = - 0.5+0.004t*/лет 2

Отсюда t*=125 лет (т.е., колонна не разрушаясь простоит 125 лет).

Р

Пример №2:

Задача о накоплении повреждений в железобетонной колонне

сучетом ползучести.

Стечением времени ввиду релаксации (отдыха) бетона все большую часть нагрузки начинает воспринимать арматура.

То есть, напряжения в бетоне стремятся к нулю. Таким образом, если не учесть накопления повреждений, то напряжение в бетоне уменьшается и его разрушение никогда не наступит.

56

Однако, это не так. Решим задачу о разрушении колонны в результате накопления повреждений.

Получили обыкновенное дифференциальное уравнение, которое легко решается

Пусть В=0.01см2/(т лет), n=1. Тогда получим:

d (1 ) Bke tdt .

Легко проверить, что решение этого уравнения можно записать в виде:

(1 )2 Bk e t c.

2

Константу с находим из начального условия при t = 0:

(0) 0 1 Bk c

2

c Bk 1

2

Вмомент разрушения (t*) 1. Из этого условия находим уравнение

для t*:

0 Bk e t* c

существует t* , то есть, бетон успеет отрелаксировать и не разрушиться. Если

( c )> 0 , то можно найти критическое время t*, по достижении которого

Bk

произойдет разрушение колонны.

57

10. РАСЧЕТ СТЕРЖНЕЙ И СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ НА ЖЕСТКОСТЬ

Стержень называется жестким, если при рабочих нагрузках он деформируется в пределах нормы.

l

Рис.10.1

Пусть [ l ] – допустимое значение удлинения, тогда должно быть:

l [ l]

Это соотношение называется условием жесткости.

Составные стержни

Если стержень состоит из двух и более участков, то ясно, что общее удлинение l состоит из суммы удлинений каждого участка. Например, для случая, приведенного на рис.10.2.

l

Рис.10.2

Пример:

Пусть =0.5см, Е=2000 kH.

Тогда

N1 10kH

N2 30kH

10kH 2м

l1 2000kH /см2 10см2 0,1см

30kH 2м

l2 2000kH /см2 20см2 0,15см

Рис.10.3

Первый стержень удлиняется, второй укорачивается.

58

Общее удлинение l (0,1 0,15)см 0,05см. По абсолютной величине это намного меньше =0.5см. Значит колонна жесткая.

Стержневые системы

Сложнее с системами стержней. Это системы типа ферм или жестких элементов, удерживаемых стержнями с шарнирными закреплениями.

P

v1 v2

Рис.10.4

Условия жесткости для таких систем могут содержать требования ограничения, например, только вертикальных составляющих перемещений в виде:

10.1. Формула Мора для вычисления перемещения конструкции

Рассмотрим деформацию бруса:

Под действием P, точка С перейдет C , а каждый малый элемент деформируется.

Рассмотри задачу отыскания перемещения СС . Разложим его на вертикальную и горизонтальную составляющие. Тогда:

СС u2 v2 .

Введем обозначения: ( p), (p),u( p),v(p) - напряжения, деформации, перемещения, полученные при действии внешней силы Р .

Далее рассмотрим другую, фиктивную задачу для нашей конструкции, а именно, приложим единичную силу Т по вертикали в рассматриваемой точке С.

59