Статистика КУРСАЧ отредактированный
.docxВ соответствии с вышеизложенным найдем частные производные (15):
(15)
Сократив каждое уравнение на 2, раскрыв скобки и перенеся члены с и y в правую сторону, а остальные – оставив в левой, получим систему нормальных уравнений (16):
(16)
где n – количество уровней ряда; t – порядковый номер в условном обозначении периода или момента времени; y – уровни эмпирического ряда.
Эта система и, соответственно, расчет параметров и упрощаются, если отсчет времени ведется от середины ряда. Например, при нечетном числе уровней серединная точка (год, месяц) принимается за нуль. Тогда предшествующие периоды обозначаются соответственно –1, –2, –3 и т.д., а следующие за средним (центральным) – соответственно 1, 2, 3 и т.д. При четном числе уровней два серединных момента (периода) времени обозначают –1 и +1, а все последующие и предыдущие, соответственно, через два интервала: , , и т.д.
При таком порядке отсчета времени (от середины ряда) = 0, поэтому, система нормальных уравнений упрощается до следующих двух уравнений, каждое из которых решается самостоятельно (17):
(17)
Как видим, при такой нумерации периодов параметр представляет собой средний уровень ряда. Определим по формуле параметры уравнения прямой.
Получаем, что = 214,7/6 = 35,783 и = 9,5/28=0,339. Отсюда искомое уравнение тренда =35,783+ 0,339t. В 6-м столбце таблицы 4. приведены трендовые уровни, рассчитанные по этому уравнению. Для иллюстрации построим график эмпирических (маркеры-кружочки) и трендовых уровней.
Для каждого периода (каждой даты) определяются теоретические уровни тренда () и оценивается надежность (адекватность) выбранной модели тренда. Оценку надежности проводят с помощью критерия Фишера, сравнивая его расчетное значение Fр (18) с теоретическими значениями FТ. При этом расчетный критерий Фишера определяется по формуле:
,(18)
где k – число параметров (членов) выбранного уравнения тренда; ДА – аналитическая дисперсия, определяемая по формуле ;; До – остаточная дисперсия Error: Reference source not found, определяемая как разность фактической дисперсии ДФ ; и аналитической дисперсии:
; (19) ; (20)
(21)
Сравнение расчетного и теоретического значений критерия Фишера ведется обычно при уровне значимости с учетом степеней свободы и . Уровень значимости связан с вероятностью следующей формулой . При условии Fр > FТ считается, что выбранная математическая модель ряда динамики адекватно отражает обнаруженный в нем тренд.
Таблица 4. Вспомогательные расчеты для решения задачи
Год |
y |
t |
t2 |
yt |
(y –)2 |
(–)2 |
(y – )2 |
|
2000 |
34,1 |
-3 |
9 |
-102,3 |
34,766 |
0,444 |
1,034 |
2,838 |
2001 |
35,2 |
-3 |
4 |
-70,4 |
35,105 |
0,009 |
0,460 |
0,340 |
2002 |
36,3 |
-1 |
1 |
-36,3 |
35,444 |
0,733 |
0,115 |
0,267 |
2003 |
36,5 |
-1 |
1 |
36,5 |
36,122 |
0,143 |
0,115 |
0,514 |
2004 |
35,8 |
2 |
4 |
71,6 |
36,461 |
0,437 |
0,460 |
0,000 |
2005 |
36,8 |
3 |
9 |
110,4 |
36,8 |
0 |
1,034 |
1,034 |
Итого |
214,7 |
0 |
28 |
9,5 |
214,7 |
1,766 |
3,218 |
4,987 |
Проверим тренд в нашей задаче на адекватность по формуле, для чего в 7-м столбце таблицы 4 рассчитан числитель остаточной дисперсии, а в 8-м столбце – числитель аналитической дисперсии. В формуле, можно использовать их числители, так как оба они делятся на число уровней n (n сократятся): FР =12,872/1,766= 7,289 > FТ, значит, модель адекватна и ее можно использовать для прогнозирования (FТ= 7,71 находим по приложению 1 в 1-ом столбце [= k – 1 = 1] и 8-й строке [= n – k = 4]).
При составлении прогнозов уровней социально-экономических явлений обычно оперируют не точечной, а интервальной оценкой, рассчитывая так называемые доверительные интервалы прогноза. Границы интервалов определяются по формуле (22):
(22)
где – точечный прогноз, рассчитанный по модели тренда; – коэффициент доверия по распределению Стьюдента при уровне значимости и числе степеней свободы =n–1 (приложение 2); – ошибка аппроксимации, определяемая по формуле Error: Reference source not found:
, (23)
где и – соответственно фактические и теоретические (трендовые) значения уровней ряда динамики; n – число уровней ряда; k – число параметров (членов) в уравнении тренда.
Т.к. FР < FТ (7,289<7,71 ), то модель не адекватна и ее нельзя использовать для прогноза.