Статистика КУРСАЧ отредактированный

В соответствии с вышеизложенным найдем частные производные (15):

(15)

Сократив каждое уравнение на 2, раскрыв скобки и перенеся члены с и y в правую сторону, а остальные – оставив в левой, получим систему нормальных уравнений (16):

(16)

где n – количество уровней ряда; t – порядковый номер в условном обозначении периода или момента времени; y – уровни эмпирического ряда.

Эта система и, соответственно, расчет параметров и упрощаются, если отсчет времени ведется от середины ряда. Например, при нечетном числе уровней серединная точка (год, месяц) принимается за нуль. Тогда предшествующие периоды обозначаются соответственно –1, –2, –3 и т.д., а следующие за средним (центральным) – соответственно 1, 2, 3 и т.д. При четном числе уровней два серединных момента (периода) времени обозначают –1 и +1, а все последующие и предыдущие, соответственно, через два интервала: , , и т.д.

При таком порядке отсчета времени (от середины ряда) = 0, поэтому, система нормальных уравнений упрощается до следующих двух уравнений, каждое из которых решается самостоятельно (17):

(17)

Как видим, при такой нумерации периодов параметр представляет собой средний уровень ряда. Определим по формуле параметры уравнения прямой.

Получаем, что = 214,7/6 = 35,783 и = 9,5/28=0,339. Отсюда искомое уравнение тренда =35,783+ 0,339t. В 6-м столбце таблицы 4. приведены трендовые уровни, рассчитанные по этому уравнению. Для иллюстрации построим график эмпирических (маркеры-кружочки) и трендовых уровней.

Для каждого периода (каждой даты) определяются теоретические уровни тренда () и оценивается надежность (адекватность) выбранной модели тренда. Оценку надежности проводят с помощью критерия Фишера, сравнивая его расчетное значение F_р (18) с теоретическими значениями F_Т. При этом расчетный критерий Фишера определяется по формуле:

,(18)

где k – число параметров (членов) выбранного уравнения тренда; Д_А – аналитическая дисперсия, определяемая по формуле ;; Д_о – остаточная дисперсия Error: Reference source not found, определяемая как разность фактической дисперсии Д_Ф ; и аналитической дисперсии:

; (19) ; (20)

₍₂₁₎

Сравнение расчетного и теоретического значений критерия Фишера ведется обычно при уровне значимости с учетом степеней свободы и . Уровень значимости связан с вероятностью следующей формулой . При условии F_р > F_Т считается, что выбранная математическая модель ряда динамики адекватно отражает обнаруженный в нем тренд.

Таблица 4. Вспомогательные расчеты для решения задачи

Год	y	t	t2	yt		(y –)2	(–)2	(y – )2
2000	34,1	-3	9	-102,3	34,766	0,444	1,034	2,838
2001	35,2	-3	4	-70,4	35,105	0,009	0,460	0,340
2002	36,3	-1	1	-36,3	35,444	0,733	0,115	0,267
2003	36,5	-1	1	36,5	36,122	0,143	0,115	0,514
2004	35,8	2	4	71,6	36,461	0,437	0,460	0,000
2005	36,8	3	9	110,4	36,8	0	1,034	1,034
Итого	214,7	0	28	9,5	214,7	1,766	3,218	4,987

Проверим тренд в нашей задаче на адекватность по формуле, для чего в 7-м столбце таблицы 4 рассчитан числитель остаточной дисперсии, а в 8-м столбце – числитель аналитической дисперсии. В формуле, можно использовать их числители, так как оба они делятся на число уровней n (n сократятся): F_Р =12,872/1,766= 7,289 > F_Т, значит, модель адекватна и ее можно использовать для прогнозирования (F_Т= 7,71 находим по приложению 1 в 1-ом столбце [= k – 1 = 1] и 8-й строке [= n – k = 4]).

При составлении прогнозов уровней социально-экономических явлений обычно оперируют не точечной, а интервальной оценкой, рассчитывая так называемые доверительные интервалы прогноза. Границы интервалов определяются по формуле (22):

₍₂₂₎

где – точечный прогноз, рассчитанный по модели тренда; – коэффициент доверия по распределению Стьюдента при уровне значимости и числе степеней свободы =n–1 (приложение 2); – ошибка аппроксимации, определяемая по формуле Error: Reference source not found:

_{, (23)}

где и – соответственно фактические и теоретические (трендовые) значения уровней ряда динамики; n – число уровней ряда; k – число параметров (членов) в уравнении тренда.

Т.к. F_{Р <} F_Т (7,289<7,71 ), то модель не адекватна и ее нельзя использовать для прогноза.