40) Задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений.

Метод Эйлера.

Одним из простейших разностных методов решения обыкновенного дифференциального уравнения является метод Эйлера.

Пусть требуется решить задачу Коши для уравнения первого порядка:

(6.1)

на отрезке .

На данном отрезке выбираем некоторую совокупность точек с равностоящими узлами, т.е..

Конечно-разностная аппроксимация прозводной

Так как , получаем формулу Эйлера

, , (6.2)

с помощью которой значение сеточной функции в любом узлевычисляется по ее значениюв предыдущем узле. На каждом шаге погрешность имеет порядок. В конце интервала погрешность, т.е. метод Эйлера имеет первый порядок точности. На рис. 6.1 дана геометрическая интерпретация метода Эйлера.

Рис. 6.1. Метод Эйлера.

Модифицированный метод Эйлера.

Модифицированный метод Эйлера позволяет уменьшить погрешность на каждом шаге до величины вместов обычном методе (6.2). Запишем разложение функции в ряд Тейлора в виде:

(6.3)

Аппроксимируем вторую производную с помощью отношения конечных разностей:

Подставляя это соотношение в (6.3) и пренебрегая членами порядка , получаем:

(6.4)

Полученная схема является неявной, поскольку искомое значение входит в обе части соотношения (6.4), но можно построить приближенное решение с использованием двух итераций.

Сначала по формуле Эйлера (6.2) вычисляют первое приближение

(6.5)

Затем находится уточненное окончательное значение

(6.6)

Такая схема решения называется модифицированным методом Эйлера и имеет второй порядок точности.

6.1.3. Метод Рунге-Кутта.

Формулы (6.5-6.6) можно представить в виде

где

Такая формулировка модифицированного метода Эйлера представляет собой метод Рунге-Кутта второго порядка. На основе метода Рунге-Кутта могут быть построены разностные схемы разного порядка точности. Наиболее употребительной является следующая схема четвертого порядка:

(6.7)

где

(6.8)

Таким образом, метод Рунге-Кутта требует на каждом шаге четырехкратного вычисления правой части уравнения. Однако это окупается повышенной точностью, что дает возможность проводить счет с относительно большим шагом.

41) Краевая задача для обыкновенного дифференциального уравнения 2- го порядка.

Линейная краевая задача имеет вид:

(6.9)

(6.10)

при .

Решение задачи (69)-(610) проводится в следующей последовательности:

1. Определение сетки.

Отрезок ab делится на частей

…

…

…

…

, ,

2. Определение сеточной функции :

			…
			…

3. Аппроксимация уравнения:

Для каждой узловой точки заменяем функции и производные в уравнениях 6.9-6.10 конечноразностными аналогами:

т.е.

(6.11)

т.е.

Получаем ситему линейных алгебраических уравнений для определениянеизвестных величин.