29) Метод простой итерации

1) Нелинейное уравнение необходимо привести к виду.

2) Принять функцию , гдеN ‑ неизвестная постоянная величина, которая определяется из условия сходимости метода простой итерации .

3) Определить N:

или .

4) Начальное приближение корня , подставляя в правую часть уравнения, получаем новое приближение.

5) Далее подставляя каждый раз новое значение корня получаем последовательность значений.

6) Итерационный процесс прекращается, если результаты двух последовательных итераций близки, т.е. .

Геометрическая интерпретация метода простой итерации. Построим графики функций и. Корнемуравненияявляется абсцисса пересечения кривойс прямойВзяв в качестве начальной точки, строим ломаную линию. Абсциссы вершин этой ломаной представляют собой последовательные приближения корня.

Function F(X)

F = X ^ 3...

End Function

Sub MPI()

a = Cells(1, 2)

n = Cells(2, 2)

e = Cells(3, 2)

Do

X = X - F(X) / n

Loop Until Abs(F(X) / n) < e

Cells(4, 2) = X

Cells(5, 2) = F(X)

End Sub

Методы решения СЛАУ. Метод прогонки.

Система линейных алгебраических уравнений:

Методы решения систем уравнений:

- Прямые методы (точные): в предположении отсутствия ошибок округления получаем точное решение задачи за конечное число арифметических действий.

- Итерационные методы (приближенные): повторяющийся процесс приводит к решению в результате последовательных приближений.

Метод прогонки.

Применяется для решения систем уравнений с трехдиагональной (ленточной) матрицей, записываемой в виде:

,

.

Состоит из прямого и обратного хода.

Прямой ход: исключение элементов матрицы системы, лежащих ниже главной диагонали. В каждом уравнении останется не более двух неизвестных и формулу

Обратный ход можно записать в следующем виде:

,

где икоэффициенты прямого хода прогонки

Поскольку , то

,

Поскольку , тои. Далее вычисляем,, ...,,.

Вычисляем невязки ()

Sub program4()

Const n = 4

Dim a(n),b(n),c(n),d(n),u(n),v(n),x(n+1),r(n)

For i = 1 To n

a(i) = Cells(i + 1, 1)

b(i) = Cells(i + 1, 2)

c(i) = Cells(i + 1, 3)

d(i) = Cells(i + 1, 4)

u(i) = -c(i)/(a(i)*u(i-1)+b(i))

v(i) = (d(i)-a(i)*v(i-1))/(a(i)*u(i-1)+b(i))

Next i

For i = n To 1 Step -1

x(i) = u(i)*x(i+1)+v(i)

Next i

For i = 1 To n

r(i) = d(i)-a(i)*x(i-1)-b(i)*x(i)-c(i)*x(i+1)

Cells(i + 1, 6) = x(i)

Cells(i + 1, 7) = r(i)

Next i

End Sub

31) Итерационные методы решения слау

Метод Якоби

Суть вычислений итерационными методами состоит в следующем: расчет начинается с некоторого заранее выбранного приближения (начального приближения). Вычислительный процесс, использующий матрицу, векторсистемы и, приводит к новому вектору:

,

При выполнении некоторых заранее оговоренных условий процесс сходится при . Сходимость метода простой итерации обеспечивается при выполнении условия преобладания диагональных элементов матрицыA:

, (2.13)

Заданная точность достигается при выполнении условия:

Метод Зейделя

В методе Зейделя при нахождении -ой компоненты используются уже найденные компоненты этой же итерации с меньшими номерами, т.е. последовательность итераций задается формулой:

,