III. Бесконечно жесткий брус ав шарнирно прикреплен к неподвижной опоре, подвешен на трех стержнях и нагружен силой (рис. 3.11). Определить усилия в стержнях?

a3 a2 a1 Рис.3.11

В стержнях появятся растяги-вающие усилия и . Для бруса АВ можно записать три уравнения равновесия: и. Число неизвестных пять: усилия в трех подвесках, вертикальная и горизонтальная составляющие реакции в шар-нире А. Таким образом, задача дважды статически неопреде-лимая. Следует заметить, что для определения усилий только

в стержнях использовать уравнения равновесия и здесь нецелесообразно, т.к. в них войдут две не интересующие нас опорные реакции в шарнире А.

Условия равновесия дает:

(а)

Дополнительные уравнения можно записать, рассматривая деформацию системы. Брус АВ считаем очень жестким, его собственными деформациями пренебрегаем. Тогда он, оставаясь прямым, займет положение .

Удлинения стержней (подвесок) будут равны по закону Гука

(б)

Из подобия треугольников можно найти соотношения между , и , что дает два дополнительных уравнения, а именно:

и (в)

Это условия совместности деформаций стержней.

Здесь, так же как и в задаче №II считаем, что при деформации системы угол между стержнем 3 и брусом АВ остался неизменным.

Подставив в уравнения (в) соотношения (б) получим два уравнения, связывающих между собой усилия и . Совместно с уравнением (а) получаем систему трех алгебраических уравнений с тремя неизвестными величинами и , из которых они и могут быть найдены.

IV. Определение монтажных напряжений

Бесконечно жесткий брус закреплен одним концом и подвешен на двух стержнях (рис. 3.12). При изготовлении стержня ВС его длина оказалась короче проектной на величину . При сборке системы стержень ВС придется вытянуть силой , что вызывает в свою очередь сжатие стержня DE силой . Определить усилия в стержнях ВС и DE.

Рис.3.12

Опора А даст две реа-кции, уравнений статики можно составить три: и данная система является од-нажды статически неопреде-лимой. Здесь, так же как и в предыдущей задаче, нецеле-сообразно использовать пер-вые два уравнения равно-весия, т.к. в них войдут не

интересующие нас реакции в шарнире А. Последнее уравнение равновесия даст

(а)

Деформированный вид системы изображен пунктиром на рис. 3.12. Из условия деформации (подобия треугольников) получим:

Подставляя значения удлинений по закону Гука, найдем

(б)

Решая совместно уравнения (а) и (б) найдем и , а затем и напряжения в стержнях

(в)

Если площади стержней и не заданы, то усилия в стержнях и найти нельзя, но можно найти напряжения в них, если задать соотношения площадей, например . Тогда уравнение б) с учетом в) примет вид

(г)

а уравнение а) с учетом заданного соотношения запишется так

(д)

Решая уравнения г) и д) можно найти и .