Статически неопределимые задачи растяжения (сжатия)

Брусья и шарнирно-стержневые системы, в которых внутренние усилия от заданной нагрузки можно определить при помощи уравнений равновесия, называется статически определимыми. В отличии от них статически неопределимыми называются системы, внутренние усилия в которых нельзя определить при помощи одних лишь уравнений равновесия. Недостающие уравнения составляются из условия деформации системы. Число дополнительных уравнений, необходимых для расчета системы, характеризует степень ее статической неопределимости.

Усилия в элементах статически определимых систем возникают только от действия внешней нагрузки (включая собственный вес конструкции). В статически неопределимых системах усилия могут возникать и при отсутствии внешней нагрузки – в результате, например, изменения температуры, смещения опорных закреплений, неточности изготовления отдельных элементов конструкции.

Наиболее важным этапом расчета статически неопределимых систем является составление дополнительных (к уравнениям равновесия) уравнений перемещений.

Проследим порядок решения таких задач на примерах:

Рис.3.9

I. Определить усилия в призматическом стержне, заделан-ным двумя концами, от одной внешней продольной силы (рис. 3.9). Отбросим одну из заделок и заменим ее действие неизвестной реакцией (рис. 3.9б). В данном случае можно составить только одно уравнение равновесия:

Откуда

(а)

В этом уравнении два неизвестных усилия и . Задача является один раз статически неопределимой. Для ее решения составим дополнительное уравнение деформации из условия, что общая длина стержня не может измениться, т.е. .

По (3.10) , здесь . На каждом участке найдем по формулам (А).

(в)

или (с)

Решаем уравнения а) и с), учитывая, что , получим

.

Эпюры строим по формулам (в), которые показаны на рис. 3.9в.

Следует отметить, что направления неизвестных реакций можно принимать произвольно. После расчета знаки уточнят действительное направление реакций. Если реакция получается со знаком (+) значит направление выбрано правильно, если со знаком (–) – то направление действительное противоположно выбранному.

II. Определить усилия в стержнях плоской шарнирно-стержневой системы, состоящей из трех стержней, нижние концы которых соединены общим шарниром и загружены в нем вертикальной силой (рис. 3.10).

Пусть площадь сечения среднего стержня равна , а крайних стержней , угол между стержнями , длины стержней и .

Рис.3.10

Если определить реакции в шарнирах А, В и С, то задача решена. Число реакции три. Но т.к. сис-тема и нагрузка симметричны, то . Для решения задачи доста-точно определить реакции и , т.к. усилия в стержнях . Для плоской системы сил, пересекающихся в одной точке можно составить два уравнения равновесия: и

Однако условие равносильно уже использованному условию симметрии. Таким образом, для решения задачи необходимо составить одно дополнительное уравнение совместности деформаций стержней.

Уравнения равновесия имеет вид

(а)

Для составления дополнительного уравнения рассмотрим перемещение системы: удлинение стержня BD равно , стержень АD удлиняется на .

Из построений на рис. 3.10 видна связь между и

(б)

Стержень 2 из начального положения (сплошная линия) переводим в деформированное состояние (пунктир) так: отсоединим в т.D, удлиним на , вращая вокруг т.А соединим в т.. При этом получим прямоугольный треугольник с и .

Подставим в выражения (б) значения и полученные выше и учитывая, что , получим:

,

откуда

(в)

Решая совместно уравнения (а) и (в) получим:

(г)

Из уравнений (г) видно, что с увеличением площадей поперечных сечений стержней 2 (т.е. n), усилия в них увеличиваются, а усилие в стержне BD при этом уменьшается

В статически же определимых системах распределение усилий в конструкции не зависит от жесткости его элементов.