II. Расчеты на удар тел

Продолжительность удара очень мала и сложно вычислить ускорения частиц ударяемой конструкции. Поэтому, воспользоваться принципом ДАламбера затруднительно и обычно здесь используют закон сохранения энергии.

Для удобства расчета на удар вводят условное понятие динамическая сила . Эта такая сила, которая, будучи статически приложенной в точке удара, вызовет такие же перемещения (деформации) ударяемого тела, как и при ударе.

Расчет на удар без учета массы ударяемого бруса

Рассмотрим закрепленный упругий брус, на который с высоты падает груз весом . При этом брус может испытывать: а) продольные деформации (колонны, сваи) рис. 9.1а, б) изгибные деформации (балки) рис. 9.1б.

Рис. 9.1

После удара, когда груз останавливается в нижнем положении, деформации каждого сечения бруса достигают наибольших значений. Их обозначим: деформации в точке удара, в любом сечении бруса с координатой (на рис. 9.1б в эти деформации (прогибы) показаны сплошной линией). Затем происходят затухающие колебания бруса, в конце которых устанавливаются деформации (в точке удара) и в любом сечении, соответствующие статическому действию груза (на рис. 9.1б эти деформации показаны пунктирной линией).

Расчет проведем при следующих допущениях:

1. Брус идеально упругий, справедлив закон Гука, модуль одинаков при динамическом и статическом нагружении;

2. Массу ударяемого бруса пока не учитываем;

3. Эпюра перемещений сечений бруса от удара подобна эпюре перемещений от статического действия груза . (На рис. 9.1б графики прогибов, обозначенные сплошной и пунктирной линиями, подобны). Обозначим

динамический коэффициент (9.3)

Из третьего допущения и рис. 9.1б следует с учетом (9.3)

(9.4)

Согласно принятого выше определения динамической силы , от ее статического приложения возникнут деформации  и , а от статического нагружения силой появятся и . По закону Гука деформации пропорциональны нагрузкам, поэтому

(6)

По закону Гука и напряжения пропорциональны нагрузкам

(9.5)

Здесь динамические напряжения, т.е. возникают в брусе при ударе; статические напряжения, возникают при статическом нагружении силой .

Из (9.4) и (9.5) следует

(9.6)

Итак, деформации и напряжения в любом сечении бруса при ударе можно определить по (9.6), если вычислить динамический коэффициент. А деформации и напряжения при любом виде статической нагрузки (осевой, изгибной, кручении и т.д.) мы умеем определять из вышеприведенных разделов.

Для решения задачи используем закон сохранения энергии. Груз при падении проходит путь и совершает работу .

При статическом нагружении силой получим ту же деформацию, что и при ударе, потенциальная энергия деформации бруса при этом, как известно, определяется так . Сила прикладывается в т. К, куда падает груз . По закону сохранения энергии , т.е.

(7)

Из (6) , подставим в (7) получим

(8)

Сокращаем на и учитывая из (9.4), что найдем

или (9)

Относительно неизвестной получили стандартное квадратное уравнение типа

Здесь . Решение квадратного уравнения известно из справочников: . В нашем случае получим

(10)

При ударе всегда , поэтому выбираем знак (+) и формулу (10) преобразуем так

или окончательно (11)

Согласно (9.4) , тогда из (11) получим

(9.8)

Величина _ст  статическая деформация бруса в точке удара от статического приложения силы в точке «K» падения груза весом . Определяется известными методами:

Рис. 9.1а: По закону Гука при осевой нагрузке

Рис. 9.1б: прогиб балки в т. K от силы , приложенной в т. K. Определяется известным методом Клебша из раздела «Плоский изгиб балок».

Скорость груза, падающего с высоты , как известно, определяется так , откуда . Подставим это в (9.8) получим

(9.9)

Преобразуем так:

(12)

Здесь: энергия падающего груза в момент начала удара;

потенциальная энергия деформации бруса от статического нагружения его силой в т. K.

С учетом (12) из (9.8) найдем

(9.10)

Из (9.8) следует, что чем больше , т.е. чем больше деформируется брус от статической нагрузки , тем меньше и по (9.6) меньше напряжения при ударе. Так появилась идея ставить в конструкциях, испытывающих ударные нагрузки, различные амортизаторы, рессоры, пружины и поясняется поговорка «знал бы, где упаду, подстелил бы солому».

_{Пример. Порядок расчета балки на удар.}

P	На балку с высоты в т. K падает груз . Найти максимальное напряжение в балке от удара, максимальные прогибы в пролете и консоли. В т. K балки статически при-

кладываем силу , равную весу груза (рис.б). Определяем от нее опорные реакции и строим эпюру изгибающих моментов. Из Эп. находим и, зная размеры и форму поперечного сечения балки, вычисляем максимальные напряжения от статического нагружения. Для вычислений по (9.6) надо знать .

Для балки б) со статической силой для двух участков запишем дифференциальные уравнения изгиба по методу Клебша, интегрируем их и из условий закрепления балки находим константы интегрирования. Строим график прогибов балки, приблизительный вид которого показан на рис.б. Находим прогиб балки в сечении «K», это и есть . По (9.8) вычисляем и далее

В консоли максимальный прогиб при ударе .

В пролете находим максимальный прогиб от статического нагружения и далее максимальный прогиб при ударе .

Дальше можно проверить балку на прочность и жесткость обычными методами.

Существует термин «падение с высоты ». Из (9.8) в этом случае получим . Чтобы этого не было, груз надо опускать плавно не только до соприкосновения с конструкцией, но и дальше, при перемещении груза вместе с деформируемой конструкцией до полной их остановки.

Учет массы ударяемого тела (бруса)

Учет массы ударяемого тела достаточно сложен, поэтому приведем окончательные формулы без вывода их.

Динамический коэффициент в этом случае определяется по формулам, аналогичным (9.8)-(9.10)

(9.11)

Здесь: ;

вес ударяемого тела, для бруса

редукционный коэффициент, определяется так

, для бруса (9.12)

Вычислив , определяем коэффициент и далее .

Пример 1. Вычислить для колонны, показанной на рис. 9.1а. По закону Гука для сечения от статического нагружения силой : , , где площадь поперечного сечения колонны, модуль упругости материала.

.

Пример 2. Вычислить для балки, показанной на рис. 9.1б, когда груз падает на середину балки.

Опорные реакции , дифференциальные уравнения изгиба балки от статического нагружения силой :

,

т.е. ввиду симметрии ограничимся одним участком.

Граничные условия: 1) ; 2) (ввиду симметрии), откуда найдем . Тогда , т.к. , то , а ,

подставим получим :

; Найдем .

Все полученные выше формулы приближенные. Чем большей жесткостью обладает ударяемый брус, тем менее точными будут результаты расчетов. Более точные результаты получаются при рассмотрении волновой теории удара.