III. Анализ деформированного состояния
|
|
Тензор деформации
|
представим в симметричном виде (см.
рис), когда
и т.д. Анализ деформиро-ванного состояния
проведем по аналогии с
вышеприведенным
анализом напряженного состояния. Три
взаимно ортогональных направления,
сдвиги между которыми при деформации
тела равны нулю, называются главными
деформациями
и обозначаются
.
Главные деформации находятся из уравнения, аналогичного уравнению (12.4) для определения главных напряжений
(12.15)
Здесь
и
инварианты деформированного состояния:
(12.16)
Решение кубического
уравнения (12.15) дает три величины главных
деформаций
.
В случае плоской
деформации, когда, например,
по аналогии с ПНС, формулы (12.10), получим
и
(12.17)
Экстремальные сдвиги находятся по формулам, аналогичным (12.6) для определения экстремальных касательных напряжений
(12.18)
Для изотропных материалов направления главных деформаций совпадает с направлениями главных напряжений.
Выясним физический
смысл инварианта
:
Рассмотрим кубик, у которого ребра
совпадают с направлениями главных
деформаций и до нагружения тела их длины
равны 1. Его объем
.
После деформации его объем станет
.
Относительное изменение объема обозначим
Деформации
малы, поэтому величины второго и третьего
порядка малости можно не учитывать,
тогда
(12.19)
Итак, первый инвариант деформированного состояния определяет относительное изменение объема тела.
Октоэдрический сдвиг, по аналогии с (12.7) – октаэдрических касательных напряжений, определяется так
(12.20)
Последняя формула получена с учетом (12.18)