4. Октаэдрические нормальные и касательные напряжения

Площадки, равнонаклоненные к направлениям главных напряжений, называются октаэдрическими, направляющие косинусы их , т.к. должно быть .

Нормальное напряжение и касательное на этой площадке через главные напряжения найдем по формулам (6) и (7) подстановкой

(12.7)

Рис.в

Величину называют часто гидростатическим давлением. С т.О на рис. В обозначена октаэдрическая площадка с и , заштрихованы главные площадки с и показаны три площадки с экстремальными касательными напряжениями и . Легко показать, что , следовательно, и тоже

являются инвариантами по отношению к преобразованию координатных осей.

II. Плоское напряженное состояние

а) Полное, нормальное и касательное напряжения на наклонных площадках

xν a x y ν yx xy ν ν yν Рис. 12.1

Плоское напряженное состояние (ПНС) является частным случаем объемного, когда отсутствуют все напряжения на площадках, перпендикулярных к одной из координатных осей. Пусть отсутствуют напряжения на площадках, перпендикулярных к оси , т.е. (9) Получим ПНС в осях , показанное на рис. 12.1.

На наклонной площадке действует полное напряжение , которое можно разложить:

1. на составляющие по осям и , т.е. на и ;

2. на нормальное и касательное напряжения.

Очевидно: (10)

Как и в объемном напряженном состоянии, положение площадки определим так (см. рис. 12.1):

(11)

Напряжения и здесь определяются из уравнений (11.4), подставляя в них (9) и

(12.7)

Здесь .

Уравнения (12.7) легко получить из условий равновесия треугольного элемента, показанного на рис.12.1 Определим площадки элемента:

(13)

Умножая напряжения на площадки, составим уравнения статики

Подставляя (13) и сокращая на , получим формулы (12.7). Нормальное напряжение найдем, проектируя и на нормаль к площадке (см.рис. 12.1)

Подставляем (12.7), получим:

Подставляя (11) и учитывая, что , найдем

(12.8)

Касательное напряжение определим, проектируя и на направление (см. рис. 12.1)

Подставим (11) и учитывая, что , окончательно получим

(12.9)

в) Главные напряжения, главные площадки

Здесь, как и в объемном напряженном состоянии, имеются главные площадки с направляющими косинусами и , на которых нормальные напряжения экстремальны и они называются главными напряжениями , а касательные напряжения отсутствуют. Поэтому здесь . Подставляя это в формулы (12.7) получим

(14)

Известно, что , поэтому уравнения (14) имеют решение, если его определитель

Раскроем этот определитель

(15)

Здесь инварианты ПНС.

Решение квадратного уравнения (15) дает два корня и , которые и называют главными напряжениями в ПНС:

Окончательно получим для (знак (+)) и (знак (–)):

(12.10)

Положение главных площадок, где действуют и в ПНС удобно определять углами , которые нормали к главным площадкам составляют с осью . Их легко определить из условия отсутствия на главных площадках касательных напряжений. Подставляя и в (12.9) получим

откуда

(12.11)

Из (12.11) получим два значения , одно , другое , которые определяют две взаимно ортогональные главные площадки. и откладывать от оси против хода часовой стрелки.

Чтобы не выяснять, на каких площадках действуют и , надо подставить и в формулу (12.8), большая величина , а меньшая . Эти величины и должно быть равны величинам, вычисленным по (12.10).

с) Экстремальные касательные напряжения

Рис.с

Вырежем из тела, испытывающего ПНС, прямоугольный элемент с главными площадками, на которых действуют и . Выделим наклонную площадку ab, нормаль к которой с направлением составляет угол . Напряжения и на этой площадке найдем по зависимостям (12.8) и (12.9), полагая .

(16)

Из второй формулы (16) видно, что при

(12.12)

Подставляя сюда и из формулы (12.10), получим

(12.13)

Итак, экстремальные касательные напряжения действуют на площадках под углом 45 к главным и определяются по формулам (12.12) или (12.13).

Нормальные напряжения на этих площадках найдем по первой формуле (16), подставляя ( )

(17)

Здесь учтено, что .

d) Чистый сдвиг

Рассмотрим частный случай ПНС, когда главные напряжения .

В этом случае экстремальные найдем по (12.12), а нормальные напряжения на этих площадках по (17). Итак

Такой случай носит название чистый сдвиг.

Рис. d

Вырежем из тела прямоугольный элемент, испытывающий чистый сдвиг, т.е. по его граням действуют только . Найдем нормальное напряжение и касательное на наклонной площадке под углом (рис. d). Используя формулы (12.8) и (12.9), подставляя в них: , . Получим (12.14)

Из этих формул видно, что при , а это как известно, характеристики главной площадки.

Итак, при чистом сдвиге главные площадки расположены под углом 45 к площадкам чистого сдвига, а главные напряжения на них:

(при )