12. Главные и эквивалентные напряжения
12. Главные и эквивалентные напряжения
Напомним некоторые основные положения теории напряжений, излагаемые обычно в курсе теории упругости или в подробных учебниках сопротивления материалов.
Если выделять из тела в окрестности некой точки (рис. 12.1) элементарный объем в виде бесконечно малого параллелепипеда, то действие на него окружающей среды заменяется напряжениями, компоненты которых действуют на грани параллелепипеда.
Рис. 12.1
В силу закона парности касательных напряжений
; ; . (12.1)
В общем случае в точке имеется только шесть независимых компонент напряжений, которые образуют симметричный тензор напряжений
(12.2)
На проходящей через ту же точку произвольно ориентированной площадке, нормаль которой имеет направляющие косинусы l, m, n с осями x, y, z, действует нормальное напряжение и касательное напряжение (рис. 12.2) с равнодействующей S. Проекции этой равнодействующей на координатные оси Sx, Sy, Sz связаны с компонентами напряжений условиями равновесия (формула Коши):
(12.3) Рис. 12.2.
Существуют три таких взаимно перпендикулярных площадки, на которых касательные напряжения отсутствуют. На этих, так называемых, главных площадках действуют главные напряжения 1, 2 и 3. При этом имеется в виду, что 123. Известно также, что главные напряжения обладают экстремальными свойствами, а именно – на любой площадке результирующее напряжение и .
Направляющие косинусы lk , mk и nk нормалей главных площадок к определяются из решения системы уравнений:
(х – k) lk + xy mk + xz nk = 0;
xy lk + (y – k) mk + yz nk = 0;
xz lk + yz mk + (z – k) nk = 0;
lk2 + mk2 + nk2 = 1. (12.4)
Из (4) следует, что главные напряжения k (к=1,2,3) являются корнями кубического уравнения:
. (12.5)
Уравнение (5) в развернутой форме имеет вид
, (12.6)
а его коэффициенты являются инвариантами (т.е. не зависят от выбора системы координат). Первый инвариант равен утроенному среднему напряжению (гидростатическому давлению) .
Направление главных площадок может быть определено не девятью направляющими косинусами, а тремя Эйлеровыми углами:
– угол (нутации) между положительными направлениями оси Z и 3 (0);
– угол (прецессии) между осью X и осью А, идущей вдоль линии пересечения плоскостей XOY и 1О2 так, чтобы ОА, Z и 3 образовали правую тройку, при этом угол увеличивается от оси X к оси Y (02);
– угол (чистого вращения) между осями 1 и А, который увеличивается от 1 к 2 (02).
Для характеристики НДС используется коэффициент Лоде-Надаи
,
принимающий значения 0=1 при чистом сжатии, 0=0 при чистом сдвиге, 0=1 при чистом растяжении.
В принятых обозначениях при выводе результатов расчета тензор напряжений (2) в общем случае выглядит как
(12.7)
В SCAD главные напряжения обозначаются как .
Для углов Эйлера введены обозначения:
– ТЕТА,
– PSI,
– FI.
12.1 Главные напряжения для конечных элементов различных типов
Каждый тип элемента обладает определенными особенностями напряженно-деформированного состояния (НДС), которое также определяет и особенности расположения главных площадок.
В зависимости от рассматриваемого типа элемента в каждой точке, где определены усилия (напряжения), вычисляются главные напряжения и углы, характеризующие положение главных площадок.
Если результаты выданы в одной точке – то это центр тяжести элемента (центр тяжести поперечного сечения тела вращения для осесимметричных элементов). Для большего числа точек вычисления будут проведены в узлах элемента и центре тяжести.
Пространственная задача теории упругости
Для решения пространственной задачи теории упругости предназначены объемные элементы и, как частный случай, осесимметричные элементы. Для них с использованием формул из раздела 12.1 вычисляются:
-
главные напряжения N1 , N2 и N3.;
-
углы Эйлера – ТЕТА (), PSI() и FI();
-
коэффициент Лоде-Надаи 0.
-
угол наклона главного напряжения N1 к оси X1.
Элементы балки стенки
Для случая плоского НДС (балка-стенка) тензор напряжений имеет вид:
(12.8)
Так как элемент всегда расположен в плоскости XOZ, то для срединной поверхности его вычисляются только два главных напряжения по формуле
. (12.9)
Положение главных площадок характеризуется углом наклона главного напряжения N1 к оси X1
. (12.10)
Если Txz=0, то считается, что =0, и в этом случае направления главных площадок совпадают с осями местной системы координат элемента.
Плиты и оболочки
Для плит на срединной поверхности вычисляются следующие усилия:
-
моменты – Mx , My и Mxy;
-
перерезывающие силы – .Qx и Qy.
Для оболочек вычисляются также напряжения – Nx , Ny и Nxy. Тензор напряжений имеет вид
, (11)
так как касательные напряжения не учитываются.
Для каждой точки, в которой вычислены усилия, главные напряжения определяются на нижней (Н), срединной (С) и верхней (В) поверхностях. При этом
NxB/H = Nx 6Mx/h2,
NyB/H = Ny 6My/h2, (12)
NxyB/H = Nxy 6Mxy/h2.
Тогда главные площадки для верхней и нижней поверхности параллельны одна другой, а главные напряжения определяются по формуле:
, (13)
Положение главных площадок характеризуется углом наклона главного напряжения N1 к оси X1
. (14)
Если Txy = 0, то считается, что = 0, и в этом случае направления главных площадок совпадают с осями местной системы координат элемента.
Стержневые элементы
Главные напряжения в стержневых элементах определяются по формуле
. (12.15)
Здесь x, x и y нормальное и касательные напряжения в характерных точках поперечного сечения стержня.
Для того чтобы определить главные напряжения, сечение элемента должно быть задано:
-
как одно из параметрических сечений (положение характерных точек для таких сечений показано на рис. 12.1);
-
или с использованием сортамента металлопроката (рис. 12.2) изображены допустимые профили из сортамента и характерные точки сечений, в которых производятся вычисления).
Во всех других случаях главные напряжения не вычисляются.
В точках, которые не располагаются на материальной части поперечного сечения (например точка 9 для коробчатого сечения), значения главных напряжений не вычисляются.
Рис. 12.1. Параметрические сечения (начало)
Рис. 12.1. Параметрические сечения (продолжение)
Рис.12.2 Прокатные профили