6____2004

6.9.5.5. Перенос начала

изменяются.

Дальнейшие преобразования уравнения (6.26) сводятся к преобразованию уравнения (6.27).

Если в этом уравнении a13 = 0 , то уравнение (6.27) относится к уравнению типа 3.

которое относится к типу 2.

92

Отметим, что все промежуточные и окончательная системы координат оставались прямоугольными, так как преобразования базиса с помощью ортогональной матрицы перехода сохраняют свойство ортонормированности. Итак, переходом к новой прямоугольной системе координат общее уравнение (6.16) приводится к одному из трех указанных типов уравнений.

Перейдем к вопросу о единственности. Для этого найдем инварианты I2 , K3 для каждого из уравнений (6.25). Имеем для уравнения типа 1

Следовательно,

1.I2 ≠ 0 для уравнения типа 1;

2.I2 = 0, K3 ≠ 0 для уравнения типа 2;

3.I2 = 0, K3 = 0 для уравнения типа 3.

Эти условия взаимно исключают друг друга, и так как общее уравнение (6.16) и уравнения (6.25) имеют одинаковые инварианты I2 , K3 , то общее

уравнение (6.16) приводится только к одному из трех указанных типов уравнений.

Уравнения (6.25) называются приведенными уравнениями линии второго порядка.

Замечание. Особо отметим, что в прямоугольных координатах

93

6.9.5.6. Таблица классификации линий второго порядка по инвариантам

Если общее уравнение (6.16) линии второго порядка задано в прямоугольной декартовой системе координат, то каноническое уравнение линии может быть найдено по инвариантам, так как согласно (6.28) и (6.29) коэффициенты λ1 , λ2 приведенных уравнений являются корнями характеристического многочлена

94

95

Тема 7. Поверхности второго порядка

В данном разделе будут описаны основные поверхности второго порядка, исследование форм поверхностей такого вида будет производиться методом поперечных сечений плоскостями, параллельными координатным плоскостям.

7.1. Эллипсоид и гиперболоид

Эллипсоидом называется поверхность, которая в некоторой системе декартовых прямоугольных координат определяется уравнением

Уравнение (7.1) называется каноническим уравнением эллипсоида.

Рассмотрим сечения данного эллипсоида плоскостями, параллельными координатной плоскости Оху. Каждая из таких плоскостей определяется уравнением вида z = h, а линия, которая получается в сечении, определяется двумя уравнениями:

Отсюда видно, что

1) при условии | h | < c плоскость z = h пересекает эллипсоид по эллипсу с полуосями

расположенному симметрично относительно плоскостей Oxz и Oyz;

2)величины а* и b* имеют наибольшие значения при h = 0 (тогда а* = а, b* = b); иначе говоря, самый большой эллипс образуется в сечении координатной плоскостью z = 0;

3)при возрастании | h | величины а* и b* убывают;

96

4) при h = c и h = − c величины а* и b* обращаются в нуль, т. е. эллипс, образуемый сечением эллипсоида (7.1) плоскостью z = c или плоскостью z = − c, вырождается в точку; иначе говоря, плоскости z = c и z = − c касаются эллипсоида;

5) при | h | < c уравнения (7.2) определяют мнимый эллипс; это означает, что плоскость z = h при | h | < c не пересекается с данным эллипсоидом.

Аналогично исследуются сечения эллипсоида плоскостями, параллельными координатным плоскостям Oxz и Oyz (см. рис. 7.1).

рис. 7.1

Величины a, b, c называются полуосями эллипсоида. Если они все различны, эллипсоид называется трехосным. Если эллипсоид образован вращением эллипса вокруг его большей оси, он называется вытянутым эллипсоидом вращения; эллипсоид, образованный вращением эллипса вокруг меньшей оси, называется сжатым эллипсоидом вращения. В случае a = b = c

эллипсоид является сферой. Рассмотрим уравнение

Левая часть его содержит такое же выражение, что стоит слева в каноническом уравнении эллипсоида. Так как это выражение неотрицательно, а справа в уравнение (7.3) стоит –1, то уравнение (7.3) не определяет никакого действительного образа. Уравнение (7.3) ввиду аналогии с уравнением (7.1) называют уравнением мнимого эллипсоида.

Однополостным гиперболоидом называется поверхность, которая в некоторой декартовой системе координат определяется уравнением

97

Двуполостным гиперболоидом называется поверхность, определяемая в некоторой декартовой системе координат уравнением

Уравнения (7.4) и (7.5) называются каноническими уравнениями гиперболоидов.

Исследуем однополостный гиперболоид. Рассмотрим сечения его координатными плоскостями Oxz и Oyz. Сечение плоскостью Oxz определяется уравнениями

Мы видим, что оно представляет собой гиперболу, расположенную симметрично относительно координатных осей Ох, Oz и пересекающую ось

Оно представляет собой гиперболу, расположенную симметрично относительно осей Оу, Oz и пересекающую ось Оу в точках (0; b;0 ) и (0;−b;0 ) .

Теперь рассмотрим сечения данного гиперболоида плоскостями z = l, параллельными координатной плоскости Оху. Сечение гиперболоида этой плоскостью определяется уравнениями

98