Основы математической логики

Язык математики и определение

Именная форма – это комбинация знаков, которая превращается в имя, если вместо части переменных подставить имена. Данная часть переменных называется свободными переменными, остальные называются связанными переменными. Если в именной форме отсутствуют свободные и связанные переменные, то именная форма сама является именем.

ПРИМЕР:

Именная форма	Свободные переменные	Связанные переменные	Примечание
0	---	---	Имя
	---	---	=3,14
-		---
X2+Y3	X,Y	---
	---	n
	a,b	x
	a,b,f	x	f-переменная, обозначающая функцию

Определение.

Высказывание– это то, о чём осмысленно спросить, истинно оно или ложно.

ПРИМЕР: То, что я сейчас написал в тетради – ложно. Это не является высказыванием!

Основные операции над высказыванием:

Если обозначить истинность символом 1, а ложность 0, то операции над высказываниями можно задать с помощью таблиц Кэли.

Бинарные операции дизъюнкция и конъюнкция задаются следующими таблицами:

ДИЗЪЮНКЦИЯ

V	0	1
0	0	1
1	1	1

КОНЪЮНКЦИЯ

	0	1
0	0	0
1	0	1

Бинарная операция импликация:

A B	0	1
0	1	0
1	1	1

АВ

Операция эквиваленция:

	0	1
0	1	0
1	0	1

Унарная операция отрицания:

	0	1
	1	0

Основные логические законы

ОБЩИЙ ПРИНЦИП: Пусть два выражения, составленные из переменных и логических связок, принимают одинаковые значения, если любым способом заменить переменные нулями или единицами, тогда, если в этих выражениях переменные любым способом заменить высказываниями, то получится два эквивалентных высказывания.

Основные Булевские тождества:

а  а = а а  в = в  а

а  (в  с) = (а  в)  с

а V а = а а V в = в V а

а V (в V с) = (а V в) V с

а  (в V с) = (а  в) V (а  с)

а V (в  с) = (а V в)  (а V с)

 а = а

Закон Де Моргана:

 (а  в) = ( а) V ( в)

 (а V в) = ( а)  ( в)

а  ( а) = 0 а V ( а) = 1

а  1 = а а V 0 = а

ав =  а V в

а  в = (ав)  (ва)

ав = (в)(а)

Докажем одно из этих тождеств:

 (а  в) = (а) V (в)

а	в	а  в	 (а  в)	а	в	(а) V (в)
0	0	0	1	1	1	1
0	1	0	1	1	0	1
1	0	0	1	0	1	1
1	1	1	0	0	0	0

Доказательство от противного:

а	в	а  в	а	в	(в)  (а)
0	0	1	1	1	1
0	1	1	1	0	1
1	0	0	0	1	0
1	1	1	0	0	1

Основные правила обращения с кванторами

Имеется два квантора: квантор существования – , квантор общности – .

Если Р(х) – некоторая высказывательная форма с единственной свободной переменной Х, то возможно построение высказываний с ограниченными кванторами и неограниченными. Неограниченный квантор имеет вид:  х Р(х),  х Р(х). Ограниченные кванторы предполагают наличие ограничений на свободную переменную:  хS Р(х),  хS Р(х).

При работе с кванторами также выполняются законы Де Моргана:

 (_x Р(х))= _xР(х)

 (_x Р(х))= _x Р(х)

ПРИМЕР:

Записать, не используя знаков отрицания, то, что функция f(x) разрывна в точке Х₀

(_{ 0} _{ 0} х х-х₀  f(x)-f(x₀) )

применяется закон Де Моргана:

_{ 0} _{ 0} х  (х-х₀  f(x)-f(x₀) )

(ав)=(аVв)=а(в)

_{ 0} _{ 0} х х-х₀  f(x)-f(x₀) 