Базовый каталог объемных элементов

Осесимметричные объемные элементы

Базовый каталог одно- и двумерных элементов

Осесимметричные одно- и двумерные элементы получается поворотом на порождающих-x одномерных элементов.

Приложение 2

Методика получения стандартизованных матриц элемента

Возьмем для примера 2-ой элемент базового каталога и применим к нему обобщенный метод Крамера-Лагранжа, поскольку он лишь частично образован координатными плоскостями и. Присвоим узлам индексы, соблюдая правило обхода против часовой стрелки.

В основании треугольной прямой призмы лежит симплекс-треугольник, трансляцией которого вдоль орта на расстояниеобразован объемный элемент. Точно так же можно считать, что элемент образован трансляцией верхнего

основания по орту . Базисные функции легко находятся по обобщенному методу Крамера-Лагранжа, т.е. умножением базисных функций симлекс-треугольниковина полином Лагранжа(см. п. 4.3):

, при (П.2.1)

Полиномы Лагранжа имеют вид:

; . (П.2.2)

Функции для симплекс-треугольника возьмем в виде (4.1.7):

, , (П.2.3)

–удвоенная площадь треугольника (см. 4.1.3). Конкретные значения коэффициентов в (П.2.3) нас пока не интересуют. Правильность базисных функций узлов элемента гарантирована использованием обобщенного метода Крамера-Лагранжа.

Найдем производные базисных функций по текущим переменным :

; ;

. (П.2.4)

Элементарный объем представим в виде

, (П.2.5)

так как производные по иесть постоянные, умножаемые на полином.

Найдем объемную часть матрицы теплопроводности, подставляя в (5.3.2) производные (П. 2.4) с учетом (П. 2.5):

(П.2.6)

.

Типичные интегралы:

; . (П.2.7)

Компонент будет идентичен, еслизаменить на. Поэтому запишем эти части матрицы в общем виде:

(П.2.8)

Здесь при ,; при,.

Так как производная по зависит только от, то при интегрировании по объему целесообразно перейти к плоским-координатам:

.

Производя перемножение сцепленных матриц, и интегрируя с учетом (5.3.8), получим окончательно:

(П. 2.9)

Таким образом, объемная часть матрицы теплопроводности элемента будет равна:

. (П.2.10)

Полученные результаты (П.2.8) и (П.2.9) рекомендуется проверить на правильность размерности, которая должна быть :

; ;;.

В итоге имеем .

Матрицы - стандартизованы и поэтому заносятся в программу. Они станут числовыми, если символы заменить их числовыми значениями, определяемыми по узловым координатам, а коэффициенты теплопроводности – на их величины согласно физическому каталогу.

Поверхностные части матрицы теплопроводности (пo числу поверхностей) определяются согласно формуле (5.1.3). Присвоим поверхностям элемента номера:

; ;;;.

Матрицы для поверхностей 1 и 2 будут отличаться только коэффициентами , и индексами строк и столбцов, так как этим поверхностям принадлежат разные узлы. Интегрирование поможно провести с помощью-координат. Базисные функции узлов найдем, приравнивая текущуюдля первой плоскости и- для второй. В итоге будем иметь:

; ;;

(П.2.11)

; ;;

Подставим найденные базисные функции в (5.1.3) и проинтегрируем согласно (5.3.8). Получим:

. (П.2.11)

По аналогии:

. (П.2.12)

На самом деле эти матрицы имеют ранг, равный шести, но мы не стали загромождать их выражения нулевыми строками и столбцами. Номера узлов покажут их место в глобальной матрице .

Матрицы для остальных поверхностей находятся так же легко благодаря переходу к плоским - координатам. Типичные интегралы будут иметь вид:

; ; , (П.2.13)

, ,;,.

Поверхностные сокращенные матрицы для будут иметь одинаковый вид и отличаются коэффициентом, длинойи индексами ненулевых строк и столбцов:

, (П.2.14)

; ,;.

Для определения матрицы достаточно строкам и столбцам матрицы (П.2.14) присвоить индексы соответствующей плоскости. Формула (П.2.14), будучи стандартизованной, также заносится в программу.

Матрица теплоемкости (5.1.5) находится так же легко, только интегрирование с помощью - координат ведется не по, а по, а полином Лагранжаинтегрируется по. Типичные интегралы идентичны интегралам (П.2.13):

;

(П.2.15)

, .

Таким образом, матрица теплоемкости будет равна:

, (П.2.16)

где – объем элемента.

Умножением элементов матрицы на числовые значения и объема элемента, сокращенная матрица теплоемкости превращается в числовую и сразу заносится в глобальную соответственно номерам узлов.

Найдем объемную часть вектора тепловой нагрузки согласно (5.1.8):

, (П.2.17)

где – единичный вектор-столбец.

Из (П.2.17) видно, что распределение по узлам элемента равномерное, независимо от его геометрии. Это означает, что желательно иметь элемент с примерно равными ребрами, чтобы распределение (П.2.17) было приближено к реальному физическому. Числовой вектор (П.2.17) заносится в глобальный вектор.

Поверхностный компонент тепловой нагрузки находится по (5.1.9) так же просто, как и объемный:

. (П.2.18)

По аналогии

. (П.2.19)

Остальные компоненты найдем по формулам:

; (П.2.20)

; (П.2.21)

. (П.2.22)

Превращая вектор-столбцы в числовые, их заносят соответственно номерам узлов в глобальный вектор .

Таким образом, все стандартизованные и программируемые матрицы для 2-го элемента базового каталога найдены. Остается найти средние температуры по формулам (5.4.1), поскольку они тоже должны находиться программно:

, (П.2.23)

где – единичная строка,– вектор-столбец узловых значений температуры.

Интегралы, которые следует взять для вычисления средних поверхностных температур элемента, фактически уже взяты – это выражения (П.2.18) – (П.2.22). Остаётся лишь единичные вектор-столбцы заменить на единичные строки и умножить их на вектор-столбец значений температуры в узлах, принадлежащих поверхности. В итоге будем иметь общую формулу для среднеповерхностной температуры:

. (П.2.24)

Здесь – число узлов, принадлежащих поверхности; , – единичная матричная строка и температура в узлах, принадлежащих поверхности, соответственно.

Из выражений (П.2.23) и (П.2.24) видно, что средние температуры находятся как среднее арифметическое температур элемента или плоскости, соответственно:

; . (П.2.25)

Формулы (П.2.23) и (П.2.24) или их аналоги (П.2.25) программируются, так как знание средних температур необходимо при учете температурной зависимости теплофизических свойств материала элемента и радиационного компонента теплообмена.

Описанная процедура стандартизации матриц элемента выполняется для каждого элемента базового каталога.

92