4.4 Эрмитовы элементы

Наряду с лагранжевыми элементами могут быть использованы и эрмитовы элементы. Базисные функции для эрмитовых элементов могут быть получены аналогичным образом, но с использованием эрмитовых полиномов вместо лагранжевых. При этом узловой вектор будет включать узловые значения не только функции, но и ее производные.

Для иллюстрации рассмотрим одномерный элемент с r узлами, причем узлы не обязательно расположены равномерно. Пусть у каждого узла имеется две степени свободы – функция u и ее производная du/dx. Следовательно, пробная функция для элемента может быть записана в виде:

(4.4.5)

У базисной функции N_ij в этом равенстве первый индекс обозначает порядок дифференцирования по соответствующей узловой переменной, а второй – номер узла. Для того, чтобы в (4.3.5) в узле k давало u_k и ∂u_k/∂x, функции N_0i (x) и N_1i(x) должны (при i≠j) удовлетворять соотношениям:

N_0i(X_i) = 1, N_1i(X_i) = 0, N^′_0i(X_i) = 0, N^′_1i(X_i) = 1,

(4.4.6)

N_0i(X_j) = 0, N_1i(X_j) = 0, N^′_0i(X_j) = 0, N^′_1i(X_j) = 0.

Этим равенствам удовлетворяют эрмитовы полиномы:

, ,j ≠ i . (4.4.7)

В качестве конкретного примера рассмотрим случай r=2. Равенство (4.4.5) при этом примет вид:

(4.4.8)

где базисные функции (записанные по индексам i,j) получены из (4.4.7) и (4.4.8):

(4.4.9а))

(4.4.9б))

Для двумерных эрмитовых элементов интерполяция применяется дважды:

первая – в направлении x, а вторая – в направлении y, что дает базисные функции в виде произведения одномерных базисных функций.

4.5 Свойства базисных функций элемента

В общем случае элементные аппроксимирующие функции должны быть непрерывными, а их производные допорядка – непрерывными или постоянными внутри элемента и между элементами (– порядок старшей производной в дифференциальном уравнении краевой задачи). Вследствие того, что по версии МКЭ:

; ,

указанными свойствами должны обладать и базисные функции элемента.

Так как узловые значения функции – это числа с размерностью искомой физической величины, базисные функции элемента должны бытьбезразмерными. В этом нетрудно убедиться, проанализировав формулы предыдущих параграфов этой главы.

Подставив в базисную функцию (4.2.4) координаты -го узла, получим:

Если в выражение (4.2.4) подставить координаты -х узлов, то оно даст. Таким образом, базисная функция должна удовлетворять следующимнеобходимым условиям:

, ,. (4.5.1)

Просуммируем столбцы матрицы (4.1.6), описывающие коэффициенты базисных функций (4.1.7) симплекс-треугольника:

, так как ;

;

.

Из этих равенств вытекает еще одно необходимое условие, которому должны удовлетворять базисные функции произвольного (а не только треугольного) элемента с произвольным количеством узлов:

, , (4.5.2)

которое может быть отнесено к нормировочному.

Нарушение требования (4.5.2) однозначно свидетельствует, что какие-то (или все) базисные функции элемента определены неверно.

Градиент искомой физической величины определяется производными базисных функций и узловыми значениями:

, . (4.5.3)

Согласно (4.2.4) и (4.3.1) первые производные базисных функций элементов каталога будут содержать оставшиеся после дифференцирования текущие переменные и их произведения в первой степени. Такие элементы принято называть мультиплекс-элементами. У этих элементов непрерывными являются и первые производные базисных функций, но только по двум переменным, а вторые производные по этим же переменным постоянны.

У линейного тетраэдра (и треугольника), как видно из (4.1.14), первые производные базисных функций постоянны и равны коэффициентам при текущих переменных. Такие элементы называютсимплекс-элементами (простыми). Как было показано выше, суммы коэффициентов равны нулю. Следовательно, дляпроизвольного симплекс-элемента с узлами имеем:

(4.5.4)

Соотношение (4.5.4) можно считать одним из признаков принадлежности элемента к семейству симплекс-элементов.

Постоянство градиента внутри симплекс-элемента требует использования малых по размерам элементов, чтобы точнее аппроксимировать быстро меняющуюся функцию . Автоматически это обусловливает дискретизацию исследуемой области на большое число элементов со всеми вытекающими отсюда последствиями.

В заключение еще раз заметим, что элементы принято классифицировать на лагранжевы и эрмитовы в зависимости от того, включает ли узловой вектор только значения функции – лагранжевы, или и значения ее производных – эрмитовы элементы [6]. Все элементы базового каталога по этой классифи­кации являются лагранжевыми.

Задание 4

4.1 Найдите базисные функции элементов:

а);; б);;;

в);;;;; г) докажите справедли-

вость найденных выражений для всех базисных функций;

4.2 Покажите, что для симплекс-треугольника N_i(x,y) = 0 в узлах j и k.

4.3 Покажите, что в произвольной точке отрезка. Найдите зна-

чения этой функции, изменяя значения x в пределах от X_i до X_k , и постройте

ее график.

4.4 Покажите, что базисные функции 4-го элемента базового каталога удовле-

творяет критерию (4.5.2).

4.5 Методом Лагранжа найдите базисные функции радиальных двумерных тре-

угольника и четырехугольника, лежащих в основании 4-го и 5-го элементов

каталога.

4.6 Методом Лагранжа найдите базисные функции элементов, порождающих

элементы каталога с номерами 8-10.

4.7 Найдите трансляцией базисные функции 5-го элемента базового каталога.

4.8 Найдите базисные функции для элементов иликаталога. Проверьте

результат по критерию (4.5.2).

4.9 Возможна ли дискретизация 2-мерной области треугольными элементами

разного порядка?