2 semestr / lect13n.tex

\magnification \magstep 1

\centerline{\bf ‹…Љ–€џ 13. 7.09.2001}

\vskip 0.5 true cm

\centerline {\bf Љ‚ЂЌ’Ћ‚Ђџ Љ€Ќ…ЊЂ’€ЉЂ}

\vskip 0.5 true cm

‚ Їа®и«®¬ ᥬҐбвॠ¬л г§­ «Ё, зв® Єў ­в®ў п ¬Ґе ­ЁЄ , Є Є в®з­ п
­ гЄ , ўҐ¤Ґв бў®Ґ ­ з «® б 1925 Ј®¤ .

€¬Ґ­­® ў н⮬ Ј®¤г ѓ ©§Ґ­ЎҐаЈ гбв ­®ўЁ«, зв® Є®¬ЎЁ­ жЁ®­­л© ЇаЁ­жЁЇ
ђЁвж  вॡгҐв ЇҐаҐб¬®ва  ЄЁ­Ґ¬ вЁзҐбЄЁе ЇаҐ¤бв ў«Ґ­Ё©, «Ґ¦ йЁе ў
®б­®ўҐ Є« ббЁзҐбЄ®© дЁ§ЁЄЁ. Ћ­ Ї®Є § «, зв® ў ⥮ਨ, Є®в®а п ­Ґ
Ўг¤Ґв Їа®вЁў®аҐзЁвм ЇаЁ­жЁЇг ђЁвж , б дЁ§ЁзҐбЄЁ¬Ё ўҐ«ЁзЁ­ ¬Ё б«Ґ¤гҐв
б®Ї®бв ў«пвм ­ Ў®ал зЁбҐ«, ­г¬Ґа㥬ле Ї а®© зЁбҐ«, в.Ґ. ¬ ваЁжл.
Џ®бЄ®«мЄг ¬ ваЁжл ¬®¦­® а бб¬ ваЁў вм Є Є Є®®а¤Ё­ в­го ॠ«Ё§ жЁо
{\bf «Ё­Ґ©­ле ®ЇҐа в®а®ў}, ¬®¦­® ЇаЁ­пвм ў Є зҐб⢥ Ї®бвг« в 
б«Ґ¤го饥 г⢥তҐ­ЁҐ

{\leftskip 2 true cm \noindent ¤Ё­ ¬ЁзҐбЄЁ¬ ЇҐаҐ¬Ґ­­л¬ дЁ§ЁзҐбЄ®©
бЁб⥬л ᮮ⢥вбвўгов «Ё­Ґ©­лҐ ®ЇҐа в®ал ў ЈЁ«мЎҐав®ў®¬ Їа®бва ­б⢥.

}

ѓЁ«мЎҐав®ў® Їа®бва ­бвў®, Є Є Ё§ўҐбв­®, --- нв® «Ё­Ґ©­®Ґ Їа®бва ­бвў®
б ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­­л¬ ў ­Ґ¬ бЄ «па­л¬ Їа®Ё§ўҐ¤Ґ­ЁҐ¬. —в®Ўл ­ Ї®¬­Ёвм б¬лб«
вҐа¬Ё­®ў, Є®в®алҐ Ўг¤гв Ї®бв®п­­® гЇ®вॡ«пвмбп ў ¤ «м­Ґ©иҐ¬,
ЇаҐ¤Ї®«®¦Ё¬, зв® ЈЁ«мЎҐав®ў® Їа®бва ­бвў® ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­® Є Є ¬­®¦Ґбвў®
Єў ¤а вЁз­® Ё­вҐЈаЁа㥬ле дг­ЄжЁ© ­ҐЄ®в®а®Ј® зЁб«  ¤Ґ©б⢨⥫м­ле
ЇҐаҐ¬Ґ­­ле $q$:
$$ {\cal H} \quad = \quad
{\psi}(q), \qquad
{\int}|{\psi}(q)|^{2}dq \quad < \quad \infty
$$
‘Є «па­®Ґ Їа®Ё§ўҐ¤Ґ­ЁҐ ў н⮬ Їа®бва ­б⢥ ®ЇаҐ¤Ґ«пҐвбп д®а¬г«®©
$$ <{\psi}_{1}|{\psi}_{2}> \quad = \quad
{\int}{\psi}^{*}_{1}(q){\psi}_{2}(q)dq.
$$
…б«Ё ®Ўа й вмбп б $\delta$-дг­ЄжЁп¬Ё Є Є б ®Ўлз­л¬Ё, в® ўбҐ
­Ґ®Ўе®¤Ё¬лҐ ­ ¬ «Ё­Ґ©­лҐ ®ЇҐа в®ал ¬®¦­® бзЁв вм Ё­вҐЈа «м­л¬Ё:
$$ {\psi}(q) \Rightarrow {\psi}^{'}(q) \quad = \quad
({\hat F}{\psi})(q) \quad = \quad
{\int}F(q,q^{'}){\psi}(x^{'})dq^{'},
$$
Ё б®Ї®бв ў«пвм б ®ЇҐа в®а®¬ ${\hat F}$ Ё­вҐЈа «м­®Ґ п¤а® $F(q,q^{'})$
$$ {\hat F} \Leftrightarrow F(q,q^{'}).
$$
„«п ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­Ёп ¤Ґ©б⢨⥫м­ле ўҐ«ЁзЁ­ ЇаЁЎҐЈ ов Є Ї®¬®йЁ {\bf
на¬Ёв®ў®Ј® б®Їа殮­Ёп}. ‘® ўбпЄЁ¬ п¤а®¬ $F(q,q^{'})$ ¬®¦­®
б®Ї®бв ўЁвм {\bf на¬Ёв®ў® б®Їа殮­­®Ґ п¤а®}
$$ F^{+}(q,q^{'}) \quad = \quad
F^{*}(q^{'},q)
$$
Ё на¬Ёв®ў® б®Їа殮­­л© ®ЇҐа в®а ${\hat F}^{+}$
$$ ({\hat F}^{+}{\psi})(q) \quad = \quad
{\int}F^{+}(q,q^{'}){\psi}(q^{'})dq^{'}.
$$
Џ®бЄ®«мЄг ¤ўгЄа в­®Ґ на¬Ёв®ў® б®Їа殮­ЁҐ ЇаЁў®¤Ёв Є ЇҐаў®­ з «м­®¬г
®ЇҐа в®аг:
$$ (F^{+})^{+}(q,q^{'}) \quad = \quad (F^{+})^{*}(q^{'},q)
\quad = \quad F(q,q^{'}),
$$
в® на¬Ёв®ў® б®Їа殮­ЁҐ ®ЇҐа в®а®ў  ­ «®ЈЁз­® ®Ўлз­®¬г б®Їа殮­Ёо
Є®¬Ї«ҐЄб­ле зЁбҐ«. Џ®б«Ґ нв®Ј® ­ Їа иЁў Ґвбп ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­ЁҐ:

{\leftskip 2 true cm \noindent Ґб«Ё ўҐ«ЁзЁ­Ґ $F$ ᮮ⢥вбвўгҐв
®ЇҐа в®а ${\hat F}$, в® Є®¬Ї«ҐЄб­® б®Їа殮­­®© ўҐ«ЁзЁ­Ґ $F^{*}$
ᮮ⢥вбвўгҐв на¬Ёв®ў® б®Їа殮­­л© ®ЇҐа в®а ${\hat F}^{+}$:

}
$$ F \quad \Longleftrightarrow \quad{\hat F}, \qquad
F^{*} \quad \Longleftrightarrow \quad {\hat F}^{+}.
$$
‚ бЁ«г нв®Ј® б®Ј« иҐ­Ёп б ¤Ґ©б⢨⥫м­л¬Ё ўҐ«ЁзЁ­ ¬Ё б®Ї®бв ў«повбп
б ¬®б®Їа殮­­лҐ (Ё«Ё {\bf на¬Ёв®ўл}) ®ЇҐа в®ал:
$$ F \quad = \quad F^{*} \qquad \Longleftrightarrow \qquad
{\hat F} \quad = \quad {\hat F}^{+}.
$$
—в®Ўл ®ЇҐаЁа®ў вм б дг­ЄжЁп¬Ё ®ЇҐа в®а®ў, ­г¦­® ®ЇаҐ¤Ґ«Ёвм б㬬㠨
Їа®Ё§ўҐ¤Ґ­ЁҐ ®ЇҐа в®а®ў. ЏҐаў п ўҐ«ЁзЁ­  ®ЇаҐ¤Ґ«пҐвбп б®Ј« иҐ­ЁҐ¬:
$$ {\hat G} \quad = \quad C_{1}{\hat F}_{1} + C_{2}{\hat F}_{2}
\qquad \Longleftrightarrow \qquad
G(q,q^{'}) \quad = \quad
C_{1}F_{1}(q,q^{'}) + C_{2}F_{2}(q,q^{'}),
$$
  б Їа®Ё§ўҐ¤Ґ­ЁҐ¬ ®ЇҐа в®а®ў б®Ї®бв ў«ов Є®¬Ї®§ЁжЁо 拉а
ᮬ­®¦ЁвҐ«Ґ©:
$$ G(q,q^{'}) \quad = \quad
{\int}F_{1}(q,q^{''})dq^{''}F_{2}(q^{''},q^{'})
\quad \Longleftrightarrow \quad
{\hat G} \quad = \quad {\hat F}_{1}{\hat F}_{2}.
$$
Џа®Ё§ўҐ¤Ґ­ЁҐ ®ЇҐа в®а®ў ®бгйҐбвў«пҐв ЇаҐ®Ўа §®ў ­ЁҐ ўҐЄв®а  ў ¤ў 
ЇаЁҐ¬ :
$$ ({\hat F}_{1}{\hat F}_{2}){\Psi} \quad = \quad
{\hat F}_{1}({\hat F}_{2}{\Psi}).
$$
Џ®«Ґ§­® Ї®¬­Ёвм, зв® г¬­®¦Ґ­ЁҐ ®ЇҐа в®а®ў ­ҐЄ®¬¬гв вЁў­®,
$$ {\hat F}_{1}{\hat F}_{2} \quad \not= \quad
{\hat F}_{2}{\hat F}_{1},
$$
Ё зв® ўҐ«ЁзЁ­г
$$ {\hat G} \quad = \quad {\hat F}_{1}{\hat F}_{2}
\quad - \quad {\hat F}_{2}{\hat F}_{1}
\quad \equiv \quad
[{\hat F}_{1}, {\hat F}_{2}]
$$
­ §лў ов {\bf Є®¬¬гв в®а®¬} ®ЇҐа в®а®ў ${\hat F}_{1}$ Ё
${\hat F}_{2}$.

\vskip 0.5 true cm

\centerline {\bf ‘Ћ‘’ЋџЌ€џ Љ‚ЂЌ’Ћ‚›• ‘€‘’…Њ}

\vskip 0.5 true cm

‚ 1927 Ј®¤г д®­-ЌҐ©¬ ­ ®Ўкпб­Ё«, Є Є ¬®¦­® бва®Ј® ®ЇаҐ¤Ґ«Ёвм Ї®­пвЁҐ
{\bf б®бв®п­Ёп дЁ§ЁзҐбЄ®© бЁб⥬л}. ‚ дЁ§ЁЄҐ ўбҐ ᢥ¤Ґ­Ёп ® бў®©бвў
бЁб⥬ вॡгов Їа®ўҐ¤Ґ­Ёп ­ҐЄ®в®але Ё§¬ҐаҐ­Ё©,   १г«мв в®¬
Ё§¬ҐаҐ­Ёп, ў Є®­Ґз­®¬ бзҐвҐ, пў«пҐвбп ­ҐЄ®в®а®Ґ зЁб«®, Є®в®а®¬г
ЇаЁ¤ ов б¬лб« {\bf б।­ҐЈ® §­ зҐ­Ёп} в®© Ё«Ё Ё­®© дЁ§ЁзҐбЄ®©
ўҐ«ЁзЁ­л. Џ®н⮬㠤«п ба ў­Ґ­ЁҐ ⥮ਨ б нЄбЇҐаЁ¬Ґ­в®¬ ў®§¬®¦­®
в®«мЄ® Ї®б«Ґ в®Ј®, Є Є Ўг¤Ґв ­ ©¤Ґ­  д®а¬г«  ўлзЁб«Ґ­Ёп б।­Ёе
§­ зҐ­Ё©. ќв® ®§­ з Ґв, зв® б«Ґ¤гҐв ®ЇаҐ¤Ґ«Ёвм зЁб«®
$<{\hat F}>$ - дг­ЄжЁо ®ЇҐа в®а  $\hat F$. ”®­-ЌҐ©¬ ­ Ї®вॡ®ў «,
зв®Ўл нв  дг­ЄжЁп 㤮ў«Ґвў®ап«  б«Ґ¤гойЁ¬ гб«®ўЁп¬:

{\leftskip 1 true cm \noindent 1) $<{\hat E}> \quad = \quad 1$ ---
б।­ҐҐ §­ зҐ­ЁҐ Ґ¤Ё­Ёжл а ў­® Ґ¤Ё­ЁжҐ;

}

{\leftskip 1 true cm \noindent 2)
$<C_{1}{\hat F}_{1} + C_{2}{\hat F}_{2}> \quad = \quad
C_{1}<{\hat F}_{1}> + C_{2}<{\hat F}_{1}>$ ---
б।­ҐҐ §­ зҐ­ЁҐ б㬬л а ў­® б㬬Ґ б।­Ёе §­ зҐ­Ё©;

}

{\leftskip 1 true cm \noindent 3) $<{\hat F}^{+}>
\quad = \quad (<{\hat F}>)^{*}$ --- б।­ЁҐ §­ зҐ­Ёп Є®¬Ї«ҐЄб­®
б®Їа殮­­ле ўҐ«ЁзЁ­ Є®¬Ї«ҐЄб­® б®Їа殮­л;

}

{\leftskip 1 true cm \noindent 4) Ґб«Ё ${\hat F}$ ---
­Ґ®ваЁж вҐ«м­ п ўҐ«ЁзЁ­ , в® ҐҐ б।­ҐҐ в Є¦Ґ ­Ґ®ваЁж вҐ«м­®:
${\hat F} \quad \geq \quad 0 \qquad \Longrightarrow \qquad <{\hat
F}> \quad \geq \quad 0$.

}

\noindent ЋЄ § «®бм, зв® нвЁ гб«®ўЁп ®¤­®§­ з­® ®ЇаҐ¤Ґ«пов дг­ЄжЁо
$<{\hat F}>$:
$$ <{\hat F}> \quad = \quad Tr({\hat F}{\hat \rho}).
$$

\noindent Џа ў п з бвм нв®© д®а¬г«л ᮤҐа¦Ёв ®ЇҐа в®а ${\hat \rho}$,
Є®в®ал© ¤®«¦Ґ­ 㤮ў«Ґвў®апвм гб«®ўЁп¬

{\leftskip 1 true cm \noindent
I. ${\hat \rho}^{+} \quad = \quad {\hat \rho}$.

}

{\leftskip 1 true cm \noindent
II. $Tr{\hat \rho} \quad = \quad 1$.

}

{\leftskip 1 true cm \noindent
III. „«п Є ¦¤®Ј® ўҐЄв®а  ${\Psi}$ Ё§ ${\cal H}$ бЇа ўҐ¤«Ёў®
­Ґа ўҐ­бвў® $<\Psi|{\hat \rho}{\Psi}> \quad \geq \quad 0$.

}
\noindent ”®­-ЌҐ©¬ ­ ЇаҐ¤«®¦Ё« бўп§лў вм Є ¦¤л© Ё§ ®ЇҐа в®а®ў $\hat
\rho$ б ­ҐЄ®в®ал¬ б®бв®п­ЁҐ¬ бЁб⥬л. ќв® ЇаЁў®¤Ёв Є ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­Ёо:

{\leftskip 1 true cm \noindent Џа®Ё§ў®«м­®¬г б®бв®п­Ёо бЁб⥬л
ᮮ⢥вўгҐв «Ё­Ґ©­л© ®ЇҐа в®а ${\hat \rho}$ б® бў®©бвў ¬Ё I. - III.

}
Џ®б«Ґ нв®Ј® ¬®¦­® бЄ § вм, зв® {\bf б।­ҐҐ §­ зҐ­ЁҐ ўҐ«ЁзЁ­л ${\hat
F}$ ў б®бв®п­ЁЁ ${\hat \rho}$} а ў­®
$$ <{\hat F}>_{\rho} \quad = \quad Tr({\hat F}{\hat \rho}).
$$

Џ®бЄ®«мЄг ®б­®ў­®Ґ ­ §­ зҐ­ЁҐ ®ЇҐа в®а  ${\hat \rho}$ --- ўлзЁб«Ґ­ЁҐ
б।­Ёе, ҐЈ® ­ §лў ов {\bf ¬ ваЁжҐ© Ї«®в­®бвЁ}. Њ®¦­® бЄ § вм, зв®
¬ ваЁж  Ї«®в­®бвЁ --- нв® на¬Ёв®ў Ї®«®¦ЁвҐ«м­® ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­­л© ®ЇҐа в®а
б Ґ¤Ё­Ёз­л¬ б«Ґ¤®¬.

”®­-ЌҐ©¬ ­ ¤ « {\bf ®ЎкҐЄвЁў­®Ґ ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­ЁҐ б®бв®п­Ёп}. Ћ­ ¦Ґ,
бд®а¬г«Ёа®ў ў ⥮аЁо Ё§¬ҐаҐ­Ё©, ўлпб­Ё« Є Є б Ї®¬®ймо Ё§¬ҐаҐ­Ё©
¬®¦­® ўлпб­Ёвм, ў Є Є®¬ б®бв®п­ЁЁ ­ е®¤Ёвбп бЁб⥬ .

„«п нв®Ј®, ҐбвҐб⢥­­®, ­Ґ®Ўе®¤Ё¬л ¬ ЄбЁ¬ «м­® в®з­лҐ Ё§¬ҐаҐ­Ёп.
Џ®н⮬г б«Ґ¤гҐв ¤ вм ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­ЁҐ {\bf в®з­®Ј® §­ зҐ­Ёп дЁ§ЁзҐбЄ®©
ўҐ«ЁзЁ­л}. ’Ґ®аЁп ўҐа®пв­®бвЁ гзЁв, зв® ¤«п нв®Ј® ­г¦­® ®Ўа вЁвмбп
Є Ї®­пвЁо {\bf ¤ЁбЇҐабЁЁ}.

{\leftskip 1 true cm \noindent „ЁбЇҐабЁп ўҐ«ЁзЁ­л ${\hat F}$ ў
б®бв®п­ЁЁ ${\hat \rho}$ --- нв® зЁб«®, а ў­®Ґ
$$ D_{\rho}({\hat F}) \quad = \quad
<{\hat F}^{2}>_{\rho} - (<\hat F>_{\rho})^{2}
\quad = \quad
<({\hat F} - <{\hat F}>_{\rho}{\hat E})^{2}>_{\rho}.
$$

}
\noindent C।­ҐҐ §­ зҐ­ЁҐ ¤Ґ©б⢨⥫쭮© ўҐ«ЁзЁ­л ¤Ґ©б⢨⥫쭮,
Ї®н⮬г {\bf ¤ЁбЇҐабЁп ¤Ґ©б⢨⥫쭮© ўҐ«ЁзЁ­л ­Ґ®ваЁж вҐ«м­ }.
…бвҐб⢥­­® бЄ § вм, зв®

{\leftskip 1 true cm \noindent ¤Ґ©бвўЁвҐ«м­ п ўҐ«ЁзЁ­  $\hat F$
Ё¬ҐҐв в®з­®Ґ §­ зҐ­ЁҐ ў б®бв®п­ЁЁ $\rho$, Ґб«Ё ҐҐ ¤ЁбЇҐабЁп ў н⮬
б®бв®п­ЁЁ а ў­  ­г«о.

}

€§ўҐбв­®, зв® Є ¦¤го Є®­Ґз­®¬Ґа­го на¬Ёв®ўг ¬ ваЁжг ¬®¦­® ЇаЁўҐбвЁ Є
¤Ё Ј®­ «м­®¬г ўЁ¤г. ‚ б«гз Ґ ЎҐбЄ®­Ґз­®¬Ґа­®© ¬ ваЁжл нв® ­Ґ в Є.
‘гйҐбвўгов ЎҐбЄ®­Ґз­®ап¤­лҐ на¬Ёв®ўл ¬ ваЁжл (­ ЇаЁ¬Ґа Ё¬Їг«мб  Ё
Є®®а¤Ё­ вл), Є®в®алҐ ­Ґ«м§п ЇаЁўҐбвЁ Є ¤Ё Ј®­ «м­®© д®а¬Ґ.
Џ®н⮬г 楫Ґб®®Ўа §­® ўл¤Ґ«Ёвм ®б®Ўл© Є« бб ®ЇҐа в®а®ў --- {\bf
®ЇҐа в®ал б зЁбв® ¤ЁбЄаҐв­л¬ бЇҐЄв஬}. ’ Є ­ §лў ов ®ЇҐа в®ал,
Є®в®алҐ ¬®¦­® ЇаҐ¤бв ўЁвм ў д®а¬Ґ
$$ {\hat F} \quad = \quad {\sum}_{n}f_{n}{\hat P}_{n},
$$
Ј¤Ґ ўбҐ зЁб«  $f_{n}$ а §«Ёз­л:
$$ f_{m} \not= f_{n}, \quad Ґб«Ё \quad m \not= n,
$$
  ®ЇҐа в®ал ${\hat P}_{n}$ ®Ў« ¤ ов бў®©бвў ¬Ё
$$ {{\hat P}_{n}}^{+} \quad = \quad {\hat P}_{n}, \qquad
{\hat P}_{m}{\hat P}_{n} \quad = \quad {\delta}_{mn}{\hat P}_{m},
\qquad {\sum}_{n}{\hat P}_{n} \quad = \quad {\hat E}.
$$
‘®ў®ЄгЇ­®бвм зЁбҐ« $\lbrace f_{n} \rbrace$ ­ §лў ов {\bf бЇҐЄв஬
®ЇҐа в®а }, бЁб⥬㠮ЇҐа ва®ў ${\hat P}_{n}$ --- {\bf бЇҐЄва «м­л¬
аў§«®¦Ґ­ЁҐ¬ Ґ¤Ё­Ёжл}, ЇаЁ­ ¤«Ґ¦ йЁ¬ ®ЇҐа в®аг ${\hat F}$,  
ЇаҐ¤бв ў«Ґ­ЁҐ ®ЇҐа в®а  ў д®а¬Ґ гЄ § ­­®© б㬬л --- {\bf
бЇҐЄва «м­л¬ ЇаҐ¤бв ў«Ґ­ЁҐ¬ ®ЇҐа в®а }. ‡­ п бЇҐЄва «м­®Ґ
ЇаҐ¤бв ў«Ґ­ЁҐ ®ЇҐа в®а , «ҐЈЄ® ®ЇаҐ¤Ґ«Ёвм ҐЈ® Їа®Ё§ў®«м­го дг­ЄжЁо:
$$ \phi({\hat F}) \quad = \quad {\sum}_{n}
{\phi}(f_{n}){\hat P}_{n}.
$$
€бЇ®«м§гп бЇҐЄва «м­®Ґ ЇаҐ¤бв ў«Ґ­ЁҐ ®ЇҐа в®а , б।­ҐҐ §­ зҐ­ЁҐ
ўҐ«ЁзЁ­л $\hat F$ ¬®¦­® § ЇЁб вм ў д®а¬Ґ
$$ <{\hat F}>_{\rho} \quad = \quad
\sum_{n}f_{n}Tr({\hat P}_{n}{\hat \rho}).
$$
—Ёб«  $w_{n} = Tr({\hat P}_{n}{\hat \rho})$ ®Ў« ¤ ов бў®©бвў ¬Ё
$$ w_{n} \quad \geq \quad 0, \qquad
{\sum}_{n}w_{n} \quad = \quad 1,
$$
в.Ґ. ®ЇаҐ¤Ґ«пов ­ҐЄ®в®а®Ґ а бЇаҐ¤Ґ«Ґ­ЁҐ ўҐа®пв­®б⥩:
$$ w_{n} \quad = \quad Tr({\hat P}_{n}{\hat \rho}) \quad -
$$
нв® ўҐа®пв­®бвм в®Ј®, зв® ўҐ«ЁзЁ­  ${\hat F}$ ЇаЁ­Ё¬ Ґв §­ зҐ­ЁҐ
$f_{n}$ ў б®бв®п­ЁЁ ${\hat \rho}$.

„«п ¤ «м­Ґ©иҐЈ® бгйҐб⢥­­®, зв® Є« бб ®ЇҐа в®а®ў, Є Є®в®а®¬г
ЇаЁ­ ¤«Ґ¦Ёв ¬ ваЁж  Ї«®в­®бвЁ, --- нв® ®ЇҐа в®ал б зЁбв® ¤ЁбЄаҐв­л¬
бЇҐЄв஬. Џ®н⮬㠪 ¦¤го ¬ ваЁжг Ї«®в­®бвЁ ¬®¦­® ЇаҐ¤бв ўЁвм ў д®а¬Ґ
$$ {\hat \rho} \quad = \quad {\sum}_{n}p_{n}{\hat P}_{n},
$$
Ј¤Ґ зЁб«  $p_{n}$ ®Ў« ¤ ов бў®©бвў ¬Ё
$$ 0 \quad \leq \quad p_{n} \quad \leq \quad 1, \qquad
{\sum}_{n}p_{n}Tr({\hat P}_{n}) \quad = \quad 1.
$$
ЋЇҐа в®ал ${\hat P}_{n}$ ¬®¦­® ЇаҐ¤бв ўЁвм б«Ґ¤гойЁ¬ ®Ўа §®¬. Џгбвм
ўҐЄв®ал $|v_{r}> \equiv v^{(r)}_{n}$ ®Ўа §гов ®ав®­®а¬Ёа®ў ­­л©
Ў §Ёб Їа®бва ­б⢥ ${\cal H}$. ќв® ®§­ з Ґв, зв® бЇа ўҐ¤«Ёўл
а ўҐ­бвў 
$$ {\sum}_{n}{v^{*}}_{n}^{(r)}{v_{n}}^{(s)}
\quad = \quad {\delta}_{rs} \quad -
$$
®ав®­®а¬Ёа®ў ­­®бвм ўҐЄв®а®ў Ў §Ёб ,
$$ {\sum}_{r}v_{m}^{(r)}{v^{*}}_{n}^{(r)}
\quad = \quad {\delta}_{mn} \quad -
$$
Ї®«­®в  Ў §Ёб .

Џгбвм ${\Delta}_{n} = \lbrace i_{1},...,i_{n} \rbrace$ -- ­ Ў®ал
Ї®«®¦ЁвҐ«м­ле 楫ле зЁбҐ«, ЇаЁзҐ¬ б।Ё а §«Ёз­ле ­ Ў®а®ў ­Ґв ®ЎйЁе
зЁбҐ«, ${\Delta}_{m} \cap {\Delta}_{n} = 0$ ЇаЁ $m \not= n$,   б।Ё
ўбҐе нвЁе ­ Ў®а®ў ®¤Ё­ Ё в®«мЄ® ®¤Ё­ а § ¬®¦­® ­ ©вЁ «оЎ®Ґ
Ї®«®¦ЁвҐ«м­®Ґ зЁб«®. ЋЇҐа в®ал
$$ {\hat P}_{n}|\Psi> \quad = \quad
{\sum}_{i \in {\Delta}_{n}}|v_{i}><v_{i}|\Psi>.
$$
‘®ў®ЄгЇ­®бвм ўбҐе ${\hat P}_{n}$ ®Ўа §гҐв ЁбЄ®¬л© ­ Ў®а ®ЇҐа в®а®ў.
Џгбвм зЁб«  $p_{n}$ 㤮ў«Ґвў®апов ­Ґа ўҐ­бвў ¬
$$ 0 \leq p_{n} \leq 1, \qquad
{\sum}_{n}p_{n}Tr{\hat P}_{n} \quad = \quad 1.
$$
Њ ваЁжг Ї«®в­®бвЁ ¬®¦­® ЇаҐ¤бв ўЁвм ў д®а¬Ґ
$$ {\hat \rho} \quad = \quad {\sum}_{n}p_{n}{\hat P}_{n}.
$$
‘।­ҐҐ §­ зҐ­ЁҐ ўҐ«ЁзЁ­л ${\hat K}$ ў б®бв®п­ЁЁ $\rho$ а ў­®
$$ <{\hat K}>_{\rho} \quad = \quad
{\sum}_{n}p_{n}({\sum}_{s \in {\Delta}_{n}}
<v_{s}|{\hat K}v_{s}>).
$$
…б«Ё ${\hat K} \quad = \quad {\hat T}^{+}{\hat T}$, в®
$$ <v_{s}|{\hat K}v_{s}> = ||{\hat T}v_{s}||^{2}.
$$
„ЁбЇҐабЁп ўҐ«ЁзЁ­л ${\hat F}$ ў б®бв®п­ЁЁ ${\hat \rho}$ а ў­ 
$$ D_{\rho}(\hat F) \quad = \quad
{\sum}_{n}{\sum}_{s \in {\Delta}_{n}}p_{n}||{\hat T}v_{s}||^{2},
$$
Ј¤Ґ
$$ {\hat T} \quad = \quad {\hat F} - <{\hat F}>_{\rho}{\hat E}.
$$
…б«Ё ¤ЁбЇҐабЁп а ў­  ­г«о, в® ¤®«¦­л ўлЇ®«­пвмбп а ўҐ­бвў 
$$ \forall n \qquad
p_{n}({\sum}_{s \in {\Delta}_{n}}||{\hat T}v_{s}||^{2}).
$$
…б«Ё $p_{n} \not= 0$, в®
$$ {\hat T}v_{s} \quad = \quad
({\hat F} - <{\hat F}>_{\rho}{\hat E})v_{s}
\quad = \quad 0,
$$
в.Ґ.
$$ {\hat F}v_{s} \quad = \quad v_{s}<{\hat F}>_{\rho}
\qquad \forall s \quad \in \quad {\Delta}_{n}.
$$
’ ЄЁ¬ ®Ўа §®¬, Ґб«Ё ўҐ«ЁзЁ­  $\hat F$ Ё¬ҐҐв в®з­®Ґ §­ зҐ­ЁҐ, в®
ҐҐ б।­ҐҐ §­ зҐ­ЁҐ а ў­® ®¤­®¬г Ё§ б®Ўб⢥­­ле §­ зҐ­Ё© ®ЇҐа в®а 
$\hat F$:
$$ D_{\rho}({\hat F}) \quad = 0 \quad \Longrightarrow
\exists v: {\hat F}v \quad = \quad v<{\hat F}>_{\rho}.
$$


\bye



































--