Добавил:

sergun Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова

Предмет:

Механика сплошных сред

Файл:

Ответы

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

06.05.2013

Размер:

259.28 Кб

Скачать

☆

Ответы на вопросы к зачету по МСС

1Суть концепции сплошной среды. Полевое описание.

Концепция сплошной среды состоит в допущении, что механические, термодинамические, электродинамические характеристики рассматриваемых тел могут быть описаны физическими полями, такими как поля плотности, давления, скорости, электромагнитные поля и т.д.

Говорят, что на пространстве-времени задано скалярное (векторное, тензорное) поле, если в каждой точке пространства, в каждый момент времени задан скаляр (вектор, тензор).

Переход от механических величин к полевым осуществляется с помощью процедуры усреднения по элементарному объёму и элементарному времени, в результате чего движение дискретной, но состоящей из очень большого числа частиц, системы описывается полевыми переменными.

2Поле скоростей и деформации среды. Тензор скоростей деформация. Деформации равномерного сжатия и деформации сдвига. Необходимое и достаточное условие отсутствия деформаций.

Произвольное движение сплошной среды полностью описывается заданием скорости среды в каждой точке пространства и в каждый момент времени:

~v(~r; t);

или

vi(xk; t):

Тензором скоростей деформаций называется тензор

vki = 2(@kvi + @ivk);

который определяет скорость изменения относительного расстояния между соседними точками сплошной среды. Движение сплошной среды является деформацией, если тензор скоростей деформаций не равен тождественно нулю.

Скорость изменения элементарного объема

		1 dV		~
			= Tr(vik) = r~v:
		V dt	= Tr(vik) = r~v:
Поэтому разложение	µ@ivk + @kvi ¡ 3			±ikr~ ~v¶	+	3±ikr~ ~v;
vik = 2	µ@ivk + @kvi ¡ 3			±ikr~ ~v¶	+	3±ikr~ ~v;
1			2			1

есть разделение деформаций на сдвиговые (1-е слагаемое) и объемные (2-е слагаемое).

Говорят, что движение тела не сопровождается деформациями, если в процессе движения не изменяются расстояния между любыми двумя его точками. Это происходит тогда и только тогда, когда для любой пары точек проекции скоростей точек на прямую, их соединяющую, равны:

vi(xk + dxk; t)dxi = vi(xk; t)dxi:

3Поле вихря. Формула Коши-Гельмгольца для распределения скоростей точек сплошной деформируемой среды.

Матрице

Âki = 2(@kvi ¡ @ivk);

можно поставить во взаимно-однозначное соответствие псевдовектор вихря

	1		1			1		~
!i =	2	"ijkÂjk =	2	"ijk@jvk;	или !~ =		2	[r £ ~v]

Формулой Коши-Гельмгольца называется представление

@ª vi(xk + dxk; t) = vi(xk; t) + "ijk!jdxk + @dxi ;

или
~	~		~	ª;
~v(~r + dr; t) = ~v(~r; t) + [!~ £ dr] + rdr~				ª;
где	1
ª =	1	vikdxidxk:

	2

4Объемные и поверхностные силы. Тензор локальных напряжений. Тензор локальных напряжений идеальной жидкости, "вязкий" тензор напряжений. Симметричность тензора локальных напряжений.

Объемной силой, действующей на элементарный объем, называется сила, представимая в виде

~ ~

dF = f(~r; t)dm;

причём подобное представление возможно только если сила, действующая на элементарный объем, зависит только от его величины и не зависит от его размеров и формы. К объемным силам относятся электромагнитные и гравитационные.

Поверхностной силой, действующей на ориентируемую поверхность жидкой частицы называется сила, представимая в виде

dFi = Pik(xj; t)d¾k:

Поверхностные силы описывают действие соседних жидких частиц на данную жидкую частицу контактное взаимодействие.

Тензором локальных напряжений называется симметричный (вследствие сохранения момен-

та импульса среды) тензор Pik(xj; t) = Pki(xj; t).

Если тензор локальных напряжений может быть приведен к диагональному виду глобально во всем пространстве с равными нормальными напряжениями, т.е.

Pik = ¡p(~r; t)±ik; p > 0;

то среда называется идеальной.

Для описания вязкости в тензор локальных напряжений добавляют "вязкий" тензор напряжений, линейно зависящий от градиентов скоростей:

	Pik = ¡p±ik + Pik;
где	µ@ivk + @kvi ¡ 3±ik@jvj¶	+ ³±ik@jvj;
Pik = ´	µ@ivk + @kvi ¡ 3±ik@jvj¶	+ ³±ik@jvj;
	2

где ´ (первая вязкость) и ³ (вторая вязкость) функции локального термодинамического состояния системы. Модель сплошной среды с таким тензором напряжений называется линейной изотропной вязкой жидкостью.

5Система уравнений движения сплошной среды.


Уравнение непрерывности
		d½			~
			dt		+ ½r~v = 0;
закон изменения импульса
½	dvi				= ½fi + @kPik;
½		dt			= ½fi + @kPik;
		dt
первое начало термодинамики
	de				~
½		dt		= Pikvik ¡ r~q;

второе начало термодинамики
ds		~
½T	dt	= D ¡ r~q;
термическое уравнение состояния

p = p(½; T );

калорическое уравнение состояния

e= e(½; T );

+структура тензора Pik. D диссипативная функция.

6Идеальная жидкость: определение и система уравнений движения.

Идеальной жидкостью называется сплошная среда без вязкости и теплопроводности и с изотропным тензором напряжений:

´ = ³ ´ 0;

Pik = ¡p(~r; t)±ik:

Уравнение непрерывности

d½

+ ½r~v = 0;

уравнение Эйлера

d~v

= ½f ¡ rp;

первое начало термодинамики

µ½¶

;

dt = ¡pdt

второе начало термодинамики

= 0;

+термическое и калорическое уравнения состояния.

Если s = const (изоэнтропичность), то для потенциальной массовой внешней силы f = ¡rU урав-

нение Эйлера можно записать в форме Громэки-Лэмба:

@t + 2[!~ £ ~v] = ¡r~

µv2 + h + U¶

;

@~v

где h = e + p=½ удельная энтальпия.

7Интегралы уравнений движения идеальной жидкости: интеграл Бернулли и интеграл Коши.

При стационарном (@t~v ´ 0) и изоэнтропическом в поле потенциальных сил течении идеальной жидкости имеет место интеграл Бернулли:

2 + h + U = constjвдоль выделенной линии тока или линии вихря

При безвихревом (!~ ´ 0) изоэнтропическом в поле потенциальных сил течении идеальной жидкости

имеет место интеграл Коши:

@© + v2 + h + U = f(t); @t 2

где ~v = ¡r©, ©(~r; t) потенциал скорости, f(t) произвольная функция времени.

8Вихри в идеальной жидкости. Теорема Томсона о циркуляции.

Теорема Томсона. При изоэнтропийном течении идеальной жидкости циркуляция скорости по замкнутому жидкому контуру сохраняется, если объёмные силы потенциальны.

~vdl = const;

C(t)

или поток вихря скорости идеальной жидкости через данную жидкую площадку при ее движении сохраняется, если объемные силы потенциальны.

~ ~

[r £ ~v]d¾ = const:

S(t)

Следствие. Если объемные силы потенциальны и вектор вихря равен нулю в некоторый момент времени во всем объеме идеальной жидкости, то движение остается безвихревым и во все последующие моменты времени.

9Уравнение Гельмгольца. Необходимое и достаточное условие вмороженности вихревых линий.

Уравнение Гельмгольца		µ ½ ¶	¡	µ ½ r~ ¶	~v = 0;
	dt
	d	!~		!~

описывает движение вихря в идеальной жидкости.

Вмороженным называется векторное поле, линии (интегральные кривые) которого в любой момент времени проходят через одни и те же частицы среды. Необходимым и достаточным условием вмороженности поля вихря !~ является выполнение уравнения Гельмгольца если объемные силы потенциальны.

10 Теоремы Гельмгольца и Гельмгольца-Фридмана.

Первая теорема Гельмгольца. Поток вихря по всей длине вихревой трубки (интенсивность вихря) одинаков в данный момент времени.

Теорема Гельмгольца-Фридмана. Если внешние силы потенциальны, то жидкая масса, составляющая вихревую трубку в какой-то момент времени, сохраняется в форме вихревой трубки и во все последующие моменты времени.

Вторая теорема Гельмгольца. При действии на жидкость лишь потенциальных сил поток вихревой трубки во все время движения остается постоянным.

Принцип сохранения вихря. Если в начальный момент времени вихри в жидкости отсутствуют (течение потенциально), то они и не могут возникнуть в идеальной жидкости без границ. Таким образом, для возникновения вихрей нужна вязкая жидкость и/или наличие границ.

11 Поток энергии и поток импульса в идеальной жидкости.

Вектор плотности потока энергии идеальной жидкости

ji = ½vi µ	v2	+ h¶;					или ~j = ½~v
	2
Закон сохранения энергии					v2
		@
				µ½			+ e¶ + r~ ~j = 0:
			@t			2

Тензор плотности потока импульса идеальной жидкости

¦ik = p±ik + ½vivk:

Закон сохранения импульса

@t(½vi) + @k¦ik = 0:

µv2 + h¶:

12Звуковые волны в идеальной жидкости. Плотность энергии и плотность потока энергии плоской звуковой волны.

Волнами называются изменения состояния среды, распространяющиеся в ней и переносящие энергию. Система уравнений для малых отклонений от равновесных величин:

@½0

+ ½0r~v = 0;

@~v

~ p0

= ¡

;

½0

p0 = µ

@½¶S ½0 = c02½0:

Волновое уравнение для поля потенциала скоростей:

@2'

@t2

¡ c04' = 0;

~v = r'(~r; t):

Звуковые волны продольны.

Связь величин в плоской звуковой волне:

v = '0(x ¡ c0t);

½0

= ½0c0v;

Любое линейное возмущение идеальной жидкости это линейная суперпозиция плоских волн,

которые распространяются независимо друг от друга:						~n¶e¡i! t¡ c0	¾		~n = ~k
'(~r; t) =	Z d-~n Re	½(2¼)4	Z0	d! '	µ!; c0	~n¶e¡i! t¡ c0	¾	;	~n = ~k		:
		1	1	e	!	n~r				~k
				e					j		j

Плотность энергии плоской звуковой волны

" = ½0v2:

Вектор плотности потока энергии плоской звуковой волны

~	2	c0~n:
j = ½0v		c0~n:

13 Ударные волны. Адиабата Гюганио.

В инерциальной системе отсчета, связанной с фронтом волны выполняются граничные условия (1 перед фронтом, 2 за фронтом):

½2vn2 = ½1vn1;

+ ½

= p

+ ½ v2

;

1 n1

½2vn2~v¿2 = ½1vn1~v¿1;

+ h1¶:

½2vn2 µv22

+ h2¶

= ½1vn1

µv21

В ударной волне ~v¿2 = ~v¿1 а p и ½ изменяются скачком.

Адиабата Гюганио:

h2 ¡ h1 = 2(p2 ¡ p1) µ½12 +

½11 ¶:

Для идеального газа удельная энтальпия

h =

;

° ´

;

° ¡ 1

и адиабата Гюганио

p +

° ¡ 1

¶µ

° ¡ 1

= p

4°

;

V =

° + 1

1 (° + 1)2

° + 1

1¶

Скорость фронта относительно лабораторной системы отсчета:

v2 =

p2 ¡ p1

> c2;

если

p2 > p1;

½1

½2

т.е. ударные волны распространяются относительно невозмущенной среды со сверхзвуковыми скоростями.

14Уравнение Навье-Стокса. Система уравнений движения вязкой жидкости.

Приближение Навье-Стокса: ´ и ³ не изменяются в пространстве с течением времени. Уравнение

Навье-Стокса:		= f~ ¡ r~ p + ´4~v + ³³ +			´r~ (r~ ~v):
½	d~v		´
	dt			3

Полная система уравнений: уравнение Навье-Стокса, уравнение непрерывности, первое и второе начала термодинамики, термическое и калорическое уравнения состояния, граничные условия. Граничные условия при обтекании вязкой жидкостью твердого тела условие прилипания ~vжидк = ~vтело.

Уравнение Навье-Стокса для вязкой несжимаемой жидкости:

d~v			~					´
	= f~	¡	rp	+ º	~v;	º	´		:
dt			½					½
					4

Поле плотности вязкой несжимаемой жидкости полностью определяется полем скоростей:

4p = ¡½(@ivk)(@kvi):

15Особенности распространения линейных возмущений в вязкой жидкости: затухание звука, поперечные колебания в вязкой жидкости.

Система уравнений для малых отклонений от равновесных величин:

@½0

+ ½0

@vx

= 0;

¶ @x2 ;

½0 @t

@x +

= ¡

µ³ + 3

@vx

@p0

4´

@2vx

½0

@vy;z

= ´

@2vy;z

;

@x2

½0

p0 = µ@½

¶S ½0 = c02

Продольные волны

vx(x; t) = V e¡k2x cos(!t ¡ k1x + Á);

где

= c0

µ1 ¡ 8"2¶

;

k2 = "2c0 ;

" = µ³ + 3

½0c02 :

4´

Поперечные волны

~v? = V~?e¡k2x cos(!t ¡ k1x + Ã);

где

= k2 = r

2 :

!º

16Стационарный поток несжимаемой вязкой жидкости. Закон подобия.

В безразмерных переменных		r		v				p
	r !	r	; v !	v	; p !			p	;

		L		U			½U2
стационарный поток описывается уравнением
	~		~			1
	(~vr)~v = ¡rp +					Re	4~v;

где Re = LUº число Рейнольдса.

Два тела называются геометрически подобными, если они могут быть получены друг из друга изменением всех линейных размеров в одинаковое число раз

Два потока называются подобными, если они могут быть получены один из другого простым изменением масштабов длин и скоростей.

Закон подобия Рейнольдса. Два стационарных потока несжимаемой вязкой жидкости, обтекающих геометрически подобные тела в отсутствии внешних сил, являются подобными, если они характеризуются одним и тем же числом Рейнольдса.

17Система уравнений магнитной гидродинамики идеально проводящей жидкости.

Уравнение непрерывности

d½		~
dt		+ ½r~v = 0;

~A
Уравнение Эйлера с силой Ампера f
	d~v						~	~A
	½			= ¡rp + f					;
	½	dt		= ¡rp + f					;
Уравнения Максвелла при условии, что ¾ ! 1							= hr~ £ [~v £ B~ ]i;
				~
r~ B~ = 0;					@B
r~ B~ = 0;						@t
Сила Ампера	1					h[r~ £ B~ ] £ B~ i;
f~A	1
	=
	=		4¼

+уравнения термодинамики идеальной жидкости, термическое и калорическое уравнения состояния.

18 Магнитогидродинамический тензор напряжений.

Уравнение Эйлера с силой Ампера можно привести к виду

½	dvi	=			@PikM	;
	dt				@xk
где тензор			µBiBk ¡ 2±ikB2¶				:
PikM = ¡p±ik + 4¼
1				1

называется магнитогидродинамическим тензором напряжений.

19Закон сохранения энергии в магнитной гидродинамике идеально проводящей жидкости.

Закон сохранения энергии имеет вид

½v2

+ ½e +

= ¡r~ ½~v µ

+ ½h¶ + S~

¾;

8¼

где

h = e +

;

S =

4¼

[E £ B]:

20 Вмороженность силовых линий магнитного поля.

Для идеально проводящей жидкости выполнено равенство

d	Ã	~	! ¡ Ã	~			!~v = 0;
		B		B
						r~
dt		½			½

которое является необходимым и достаточным условием вмороженности линий магнитного поля.

21 Магнитогидродинамические волны.

Система уравнений для малых отклонений от равновесных величин

	@½0		~
			+ ½0r~v = 0;
@t		@t	+ ½0r~v = 0;		;
@t	= ¡½0 r~ ½0		+ 4¼½0 h[r~	£~b] £ B~0i	;
@~v	c2		1
	0

~ ~

rb = 0;

@t = hr~	£ [~v £ B~0]i:
~
@b

Альфвеновские волны поперечные волны в замагниченной идеальной жидкости, не сопровождающиеся колебаниями плотности. Дисперсионное уравнение

4¼½0!	2	~ ~ 2	;	~	~	= fBx; By; 0g;
4¼½0!		= (kB0)	;	k = fk; 0; 0g;	B0	= fBx; By; 0g;

фазовая скорость

~ 2

~u = (~nB0) ~e : p4¼½0 z

Магнито-звуковые волны.

Быстрая волна (переходит в обычную волну при отсутствии внешнего поля). Фазовая скорость

u = 2 2c0 + 4¼½0					+ s							3;
u = 2 2c0 + 4¼½0					+ s	µc0 + 4¼½0 ¶		¡		¼½0 c0		3;
	1			B2			B2	2	B2
2		4	2	0	2		0			0x	2	5

Медленная волна. Фазовая скорость

u = 2 2c0 + 4¼½0					¡ s							3:
u = 2 2c0 + 4¼½0					¡ s	µc0 + 4¼½0 ¶		¡		¼½0 c0		3:
	1			B2			B2	2	B2
2		4	2	0	2		0			0x	2	5

Соседние файлы в предмете Механика сплошных сред

#
06.05.2013102.59 Кб44Вопросы.pdf
#
06.05.2013259.28 Кб87Ответы.pdf