I семестр / Математический Анализ - ответы - 11-20 билеты / вопрос 12

12 Дифференцируемость и дифференциал функции.

Пусть y = f(x) имеет производную в точке х, то есть = f '(x). Введём функцию:

(х)=- f '(x) (1)

Эта функция определена при х  0 и является бесконечно малой при х  0. Из равенства (1) получаем: у = f '(x)х + (х)х.(2). Равенство (2) будет верно и при х = 0, если каким-то образом доопределить (х) в точке х = 0. Для дальнейшего удобно положить (0) = 0. Итак, если функция y = f(x) имеет производную f ' (x) в точке х, то её приращение y можно представить в виде (2), где (х) - бесконечно малая при х  0, (0) = 0. Отметим также, что при фиксированном х f '(x) представляет собой некоторое число. Пусть теперь дано, что приращение функции y = f(x) в точке х можно представить в виде

у = Ах + (х)х, (3)

где А - число, (х)  0 при х  0, (0) = 0. Покажем, что тогда функция имеет производную в точке х, причем f '(x) = A. Из (3) следует: = А + (х), = А, то есть f '(x) =А. Таким образом, мы доказали, что если функция y = f(x) имеет производную в точке х, то её приращение в этой точке можно представить в виде (3), где А = f '(x), а функция (х)  0 при х  0, (0) = 0, и обратно: если приращение функции в точке х можно представить в виде (3), то функция имеет производную в этой точке, причём f'(x)=A.

Определение: Если приращение функции y = f(x) в точке х можно представить в виде (3), где А - число, (х)  0 при х  0, (0) = 0, то функция называется дифференцируемой в точке х.

Из проведённых рассуждений следует, что существование производной и дифференцируемость функции в точке являются эквивалентными свойствами. Иными словами: для того, чтобы функция была дифференцируемой в точке х, необходимо и достаточно, чтобы она имела производную в этой точке. Поэтому операция нахождения производной называется дифференцированием функции.

//Замечание: Учитывая, что A = f '(x), (х)х = o(x), условие дифференцируемости (3) можно записать в виде:

х = f '(x)х + o(x).(4)

Теорема 4.1. Если f(x) дифференцируема в точке а, то она непрерывна в точке а.

Доказательство.

По условию приращение функции в точке а можно представить в виде: у = f(a + x) - f(a) = =f'(a)x+o(x). Отсюда следует, что y  0 при x  0, то есть [f(a + x) - f(a)] = 0 или[f(a + x)] = f(a).

(здесь рисунок)

Это и означает, по определению непрерывности, что f(x) непрерывна в точке а.

Теорема доказана.

Условие y  0 при x  0 называется разностной формой условия непрерывности функции в точке а.

//Замечание:Обратное утверждение к теореме 4.1 неверно.

Контрпример: f(x) = |x|.

(здесь рисунок)

f(x) = 0 = f(0), то есть f(x) непрерывна в точке х = 0. Но f '(0) не существует.