I семестр / Математический Анализ - ответы - 11-20 билеты / вопрос 11

11 Определение производной. Производные некоторых основных элементарных функций.

Пусть функция y = f(x) определена на некотором интервале (a, b). Зафиксируем x  (a, b).

(здесь рисунок)

Дадим аргументу х приращение х. Функция y = f(x) получит приращение у = f(x + х) - f(x). Отметим, что при фиксированной точке х у является функцией только x. Составим отношение:

=- функция аргумента х.

Определение: Если существует , то он называется производной функции y = f(x) в точке х и обозначается f '(x). Другие обозначения: y'(x), (x), .

Примеры:

1) y = c = const. у = f(x + х) - f(x) = с - с = 0, = 0  = 0. Итак, c' = 0.

2) y = xⁿ (n  N). у = (x + х)ⁿ - xⁿ = xⁿ + nx^n-1х + x^n-2(х)² + … + (х)ⁿ - xⁿ .

= nx^n-1х + x^n-2(х) + … + (х)^n-1, = nx^n-1. Итак, (xⁿ)' = nx^n-1 (n - натуральное число).

3) y=sin x. = = = =cos.  1 при х  0 (первый замечательный предел), cos cos x при х  0, так как cos x - непрерывная функция, поэтому = cos x. Итак, (sin x)' = cos x.

4) (cos x)' = -sin x (доказать самостоятельно).

5) y = log_ax (x > 0).

===log_a. Так как  е при х  0, то

= log_a е =, то есть (log_ax)' = Второй способ вывода этой формулы:

= ==+, следовательно, =.

6) у = а^х.

==== а^х(ln a +), следовательно, = а^хln a, то есть (а^х)' = а^хln a. В частности, если а = е, то (е^х)' = е^х.

Односторонние производные.

Рассмотрим у = f(x + х) - f(x) при х > 0. называется правой производной функции в точке х и обозначается (x). Аналогично: =(x).

Примеры:

1) f(x) = sin x.

(x) = (x) = f'(x)= cos x.

2) f(x) = | x | =.

(здесь рисунок)

В точке х = 0 у =.

Поэтому = .

Следовательно, (0) = 1, (0) = -1, f '(0) - не существует.

Частные производные.

Рассмотрим функцию двух переменных z =f(x, y). Зафиксируем аргумент у, тогда z =f(x, y) станет функцией одной переменной х. Производная этой функции называется частной производной z =f(x, y) по аргументу х и обозн.(x, у). Аналогично определяется (x, у).

Примеры: 1) z = sin(x + y). Найти (0, ). Положим у = , тогда z = sin(x + ), =cos(x+4), (0, ) = cos  = -1.

2) z = x^y, = yx^y-1, = x^yln x.

§ 2. Физический и геометрический смысл производной.

Физический смысл производной.

Пусть х - время, y = f(x) - путь, пройденный точкой, движущейся прямолинейно, за время х.

(здесь рисунок)

Зафиксируем момент времени х. у = f(x + х) - f(x)- путь, пройденный точкой за промежуток времени от х до х + х. = v_ср(х)- средняя скорость точки на этом промежутке времени. = v(х), то есть f '(x) = v(х) - мгновенная скорость в момент времени х. Для произвольной функции y = f(x): f '(x) - скорость изменения переменной у по отношению к переменной х.

Геометрическая интерпретация производной.

(здесь рисунок)

Углом между прямой l и осью х назовём угол , на который нужно повернуть ось х для того, чтобы совместить её положительное направление с одним из направлений на прямой, причём -<  . Поворот по часовой стрелке:  > 0, иначе  < 0. Число k = tg  называется угловым коэффициентом прямой.

(здесь рисунок)

Пусть задана функция y= f(x). Рассмотрим в прямоугольной системе координат (x, y) множество точек {(x, f(x))}, x  X - области определения f(x).

(здесь рисунок)

Это множество точек представляет собой график функции y= f(x). Проведём прямую MN. Её угол с осью х обозначим (х)). Прямая MN называется секущей.

Определение. Если существует (х) = ₀, то прямая l, проходящая через точку M(x, f(x)) и имеющая угловой коэффициент k = tg ₀, называется касательной к графику функции y = f(x) в точке M.

Если существует(х) = ₀, то прямая l называется предельным положением секущей MN при стремлении точки M к точке N по графику функции. Поэтому говорят так: касательная к графику функции в точке М - это предельное положение секущей MN.

Докажем, что если функция y = f(x) имеет производную f '(x) в точке х, то в точке M(x, f(x)) существует касательная к графику функции и угловой коэффициент касательной k = f '(x).

Доказательство:

tg (x) =, откуда (x) = arctg, (x) =arctg = [так как arctg-непрерывная функция] = = arctg() = arctg f '(x), так как по условию = f'(x). Существование предела (x) при x  0 и означает по определению, что в точке M (x, f(x)) существует касательная к графику функции. При этом ₀ =(x) = arctg f '(x), поэтому k = tg ₀ = f '(x). В этом и состоит геометрический смысл производной. Уравнение касательной к графику функции в точке M(x₀, f(x₀)): y - f(x₀) = f '(x₀)(x - x₀).