I семестр / Математический Анализ - ответы - 1-10 билеты / вопрос 9

9 Непрерывность элементарных функций.

1. y = sin x, (- < x < +).

Ранее мы доказали непрерывность функции sin x в точке x = 0.

Докажем непрерывность sin x в произвольной точке а. Для этого нужно доказать, что

sin x = sin a, или что sin x - sin a  0 при x  a. Воспользуемся формулой

sin x - sin a = 2sincos.

Если x  a, то 0, поэтому sin 0, а так как 2cos- ограниченная функция, то sin x - sin a  0, что и требовалось доказать. Непрерывность sin x в любой точке доказана.

Рассмотрим теперь функцию у = , Х =[- x  ]. На этом сегменте функция y = sin x является непрерывной и возрастающей (возрастание следует из формулы

sin- sin= 2sincos).

Следовательно, по теореме 3.5, множеством значений данной функции является сегмент

Y = [sin(-), sin()] = [-1, 1], на Y= [-1, 1] существует обратная функция x = arcsin y, возрастающая и непрерывная на [-1, 1].

(рисунок)

2. y = cos x и x = arccos y - доказать непрерывность самостоятельно

(рассмотреть y = cos x на [0, ]).

3. y = tg x =(x  + n, n  Z)/

Во всех точках области определения tg x является непрерывной функцией как частное двух непрерывных функций. Рассмотрим функцию y = tg x на [-+ ,- ],  > 0.

(рисунок)

На этом сегменте функция y = tg x - непрерывная и возрастающая (возрастание следует из формулы

tg- tg=).Следовательно, по теореме 3.5 множеством значений данной функции является сегмент Y = [tg(-+ ), tg(- )], на Y существует обратная функция x = arctg y, возрастающая и непрерывная.

Заметим теперь, y  > 0, такое, что y  [tg(-+ ), tg(- )].

Так как tg(-+ )  - при   +0, tg(- )  + при   +0, То функция, x = arctg y определена для всех y  (-, ), является возрастающей и непрерывной.

(рисунок)

4. y = ctg x и x = arcctg y - доказать непрерывность самостоятельно.

5. y =, n - натуральное, Х  (-, ).

Эта функция непрерывна в любой точке как произведение n непрерывных функций, равных х.

Рассмотрим теперь y = на Х =[0  x  a], а - произвольное > 0.

На этом сегменте y =- непрерывная и возрастающая. Следовательно, по теореме 3.5 множеством значений данной функции является сегмент Y = [0, ], на Y существует обратная функция х = =, возрастающая и непрерывная.

Так как  у > 0  a > 0 такое, что у  [0, ], то функция х = определена, возрастает и непрерывна на [0 , +).

Положим по определению = ( х > 0, любого натурального n и любого целого m).

Тем самым определена функция y = для рациональных показателей степени.

6. y = (a > 0, a  1)

Для рациональных х эта функция определна в пункте 5). Отметим, что для рациональных показателей степени r = функция обладает следующими свойствами:

1. е сли >, то > при а > 1, > при 0< а < 1.

2. = .

3. =.

4. =1(по определению).

5. =(по определению).

6. =.

7. > 0  r.

Определим теперь любого вещественного числа х.

Пусть х - любое вещественное число. Рассмотрим случай, когда a > 1. Рассмотрим множество {}, где r - любое рациональное число, такое, что r  x. Это множество ограниченно сверху, и следовательно, имеет точную верхнюю грань.

Положим по определению: = {}

Можно было определить так: = {}

Дома доказать, что {}={}.

Если 0 < a < 1, то > 1. По определнию положим  х: a^x =.

Можно показать,что функция a^x для любых вещественных х обладает такими же свойствами

1)- 7), как и для рациональных показателей степени.

В частности, a^x - возрастающая функция при а > 1 и a^x убывающая функция при 0 < a < 1.

Дкажем теперь непрерывность a^x для любого вещественного х. Для определённости рассмотрим случай а > 1, возьмём произвольное х = с и докажем сначала непрерывность a^x в точке с слева. Для этого нужно доказать, что   > 0  левая полуокрестность точки с, в которой a^с - a^x < .

(рисунок)

По определению, a^с = { a^r }. Зададим произвольное  > 0 и рассмотрим число a^с - . По определению точной верхней грани найдется рациональное число < c :> a^с - .

(рисунок)

Так как a^х - возрастающая функция, то  х  {< x  c}: a^х > > a^с -,

откуда a^с - a^x <  при  x  c.

Непрерывность a^х в точке с слева доказана. Аналогично доказывается непрерывность a^х в точке с справа. Из непрерывности в точке с слева и справа следует непрерывность a^х в точке с.

Рассмотрим теперь функцию у = a^х на произвольном сегменте [b, c]. На этом сегменте эта функция строго монотонная и непрерывная. Следовательно, по теореме 3.5 множеством значений данной функции является сегмент Y = [a^c , a^b]. На Y существует обратная функция (она обозначается x = log_a y), строго монотонная и непрерывная. Так как y > 0  b и c такие,

что y [a^c , a^b], то функция x = log_a y - сторого монотонная и непрерывная на полупрямой (0, +).

Если а = е, то логарифм называется натуральным и обозначается log_е x = ln x, а показательная функция е^х называется экспонентой.

7) Степенная функция с произвольным вещественным показателем.

у = х^ ( - любое вещественное число).

Область определения Х = {x > 0}.

Так как х^ = е^{ln x} = е^t , где t = ln x, то у = х^ непрерывна в любой точке х > 0 как суперпозиция двух непрерывных функций.

Рассмотренные элементарные функции называются основными элементарными функциями.

Любая функция, которая получается из основных элементарных функций в результате конечного числа арифметических операций и суперпозиций - называется элементарной функцией, а множество всех элементарных функций называется классом элементарных функций.

Из теоремы о непрерывности сложной функции и теоремы об арифметических действиях над непрерывными функциями следует, что любая элементарная функция непрерывна во всякой точке, в окрестности которой она определена.

Например , у = (sin x)^{ln tg x}. непрерывна во всех точках x,

в которых sin x > 0 и tg x > 0.

Рассмотрим функцию y = , её область определения

Х = {x = 2n, n  Z}, то есть эта функция определена в точках, которые не являются предельными точками области определения.

(рисунок)

Поэтому данная функция не является непрерывной в этих точках.