1 Числа.

Понятие числа относится к основным (неопределяемым) понятиям математики. Мы будем исходить из того, что нам известны рациональные числа и действия над ними. Рациональное число - число которое можно представить в виде m/n, где m-целое, n-натуральное. Бесконечные десятичные непериодические дроби назовём иррациональными числами. Рациональные и иррациональные числа назовём вещественными (действительными) числами.

Сравнение вещественных чисел.

Рассмотрим два вещественных числа:

₀,₁₂ … _n… и ₀, ₁₂ … _n… , обозначим эти числа через a и b соответсвенно. При введении правил сравнения для чисел с "0" и "9" в периоде пользуемся одной из двух, но одинаковой для всех таких чисел формой записи. Если все _i = 0, то а = 0. Если хотя бы одно _i  0, и знак + перед числом, то а > 0. Если -, то а < 0. Будем говорить, что a = b, если их знаки одинаковы и для любых i: _i =_i. Иначе считаем: а  b. Пусть а  b и a > 0, b > 0.Тогда существует число k, такое, что _i =_I при i = 0,1, … , k - 1, а _k  _k. В этом случае полагаем a > b, если _k > _k.

Пусть a < 0, b  0, тогда a < b.

Пусть a < 0, b < 0. Тогда a < b, если a> b; a > b, если a< b.

Теперь надо доказать что эти правила обладают определёнными свойствами. И то, что в применении к рациональным числам оба правила сравнения, старое и новое, дают одинаковый результат. Это нетрудно сделать.

Для введения правил сложения и умножения вещественных чисел понадобится понятие точных граней ограниченного числового множества.

Точные грани ограниченного числового множества.

Пусть X-числовое множество, содержащее хотя бы одно число (непустое множество).

x  X - x содержится в Х.

x  X - x не принадлежит Х.

Определение: Множество Х называется ограниченным сверху (снизу), если существует число М(m) такое, что для любого x  X выполняется неравенство x  M (x  m), при этом число М называется верхней(нижней) гранью множества Х. Множество Х называется ограниченным сверху, если  M,  x  Х x  M. Определение неограниченного сверху множества. Множество X называется неограниченным сверху, если  M  x  Х x  M. Определение множество X называется огранич., если оно ограничено сверху и снизу, то есть  М, m такие, что  x  Х m  x  M. Эквивалентное определение огр мн-ва: Множество X называется ограниченным, если  A > 0,  x  X: x A. Определение: Наименьшая из верхних граней ограниченного сверху множества Х называется его точной верхней гранью, и обозначается SupХ (супремум). =SupХ.

Аналогично можно определить точную нижнюю грань. Эквивалентное определение точной верхней грани: Числоназывается точной верхней гранью множества Х, если: 1) x  X: х  (это условие показывает, что - одна из верхних граней). 2)<  x  X: х > (это условие показывает, что- наименьшая из верхних граней).

Sup X=:

1.  x X: x .

2. <  x X: x >.

inf X (инфимум)-это точная нижняя грань. Поставим вопрос: всякое ли ограниченное множество имеет точные грани?

Пример: Х = {x: x>0} не имеет наименьшего числа.

Арифметические операции над вещественными числами.

Сложение.

Пусть x и y -любые вещественные числа, и пусть x_r и y_r- любые рациональные числа, такие, что: x_r£ x , y_r£ y. Рассмотрим множество {x_r+y_r}, где сложение производится по правилу для рациональных чисел. Оно ограниченно сверху. В самом деле,

возьмём рациональные числа и: x £, y £. По свойству транзитивности знака £ имеем: x_r £, y_r £.

x_r + y_r £ ,

то есть, {x_r + y_r ограниченно сверху и, следовательно, имеет точную верхнюю грань.

Положим по определению x + y = {x_r + y_r}.

Умножение

1)Пусть x > 0 и y > 0 - произвольные вещественные числа и пусть x_r и y_r- любые рациональные числа, удовлетворяющие неравенствам: 0 < x_r £ x, 0 < y_r £ y.

Рассмотрим множество {x_r y_r} , где умножение производится по правилу для рациональных чисел. Оно ограниченно сверху и поэтому имеет точную верхнюю грань. По определению xy ={}

2) " x: x×0 = 0×x = 0.

3) если x ¹ 0, y ¹ 0, то

xy =

Вычитание и деление вещественных чисел вводятся как операции, обратные сложению и умножению. Разность x и y - это вещественное число z, такое, что z + y = x. Можно доказать, что " x и y разность $ и единственна. Частное от деления x на y ¹ 0 - это вещественное число z, такое, что zy = x. Можно доказать, что " x и y ¹ 0 частное существует и единственно.