I семестр / Математический Анализ - ответы - 1-10 билеты / вопрос 8

8 Теорема об обратной функции.

Пусть функция у = f(x) определена на множестве Х, и пусть Y - множество её значений. Пусть каждое своё значение функция принимает только в одной точке. В таком случае говорят, что функция у = f(x) осуществляет взаимно однозначное отображение множества Х на множество Y. Поставим в соответствие каждому у  Y то число х  Х, для которого f(x) = у. Тем самым на множестве Y будет определена функция. Она называется обратной по отношению к функции

у = f(x) и обозначается х =( у). Отметим, что обратной для функции х =( у) является функция y = f(x), поэтому функции y = f(x) и х =( x) называются взаимно обратными.

Примеры.

1) y =, X = [0, +),

x =, Y = [0, +).

(рисунок)

2) y =, X = (-, ).

Эта функция обратной не имеет.

(рисунок)

Теорема 3.5

Пусть функция y = f(x) определена, непрерывна и строго монотонна на [a, b].

Тогда множеством её значений является сегмент Y = [f(a), f(b)], на сегменте Y существует обратная функция х =( у), строго монотонная и непрерывная.

Доказательство.

(рисунок)

Пусть y = f(x) возрастает на [a, b].

1. В силу следствия из теоремы 3.4 функция y = f(x) принимает любое значение между f(a) и f(b), а так как y = f(x)-ворастающая функция, то у неё нет значений, меньших f(a), и значений, больших f(b). Тем самым, множество её значений Y = [f(a), f(b)].

2. Так как y = f(x)- возрастающая функция, то каждое значение y  Y функция принимает только в одной точке. Отсюда следует, что на сегменте Y существует обратная функция х =( у).

3. Докажем, что х =( у)возрастает на сегменте Y.

Возьмём и  Y, < Требуется доказать, что <,

То есть, что <. Так как f() =,f() = , то если предположить, что , в силу возрастания функции f(x) получим f()  f(), то есть, что противоречит неравенству <. Таким образом() <(), то есть обратная функция возрастает на сегменте Y.

4. Остаётся доказать непрерывность обратной функции на сегменте Y.

Возьмём произвольную точку (f(a), f(b)) и докажем непрерывность обратной функции в точке . Непрерывность в точках f(a) и f(b) доказывается аналогично.

(рисунок)

По определению непрерывности нужно доказать, что  > 0  > 0: | (y) - () | < 

при | y - | < , или |(y) - | <  при | y - | < . Иначе говоря, нужно доказать, что значения обратной функции лежат в  - окрестности точки для значений аргумента у из  - окрестности точки.

Возьмем произвольное  > 0 столь малым, чтобы -  и +   [a, b]. Пусть

f(- ) =, f(+ ) =. Так как функция y = f(x) - возрастающая, то <<. А так как обратная функция x =(y) также возрастающая, то <(y) < при

< y <, то есть значения обратной функции лежат в  - окрестности точки для значений аргумента y  (,).

Возьмём  - окрестность точки, принадлежащую интервалу (,). Тогда, согласно доказанному, значения обратной функции для значений аргумента y из этой  - окрестности лежат в  - окрестности точки, что и требовалось доказать.

Теорема доказана.