I семестр / Математический Анализ - ответы - 21-31 билеты / вопрос 28

28 Теорема Ролля и Лагранжа.

Теорема 7.7. (Ролля)

Пусть выполнены следующие три условия:

1. f(x) непрерывна на сегменте [a, b],

2. f(x) дифференцируема в интервале (a, b),

3. f’(a) = f’(b).

Тогда  точка c  (a, b): f’(c) = 0.

Доказательство.

В силу второй теоремы Вейерштрасса f(x) имеет на сегменте [a, b] максимальное и минимальное значения.

M = f(x), m = f(x).

Возможны два случая:

1. M = m => f(x) = M = m = const.  точки c  [a, b]: f’(c) = 0.

2. M > m. Так как f’(a) = f’(b), то по крайней мере одно из своих значений (M или m) f(x) принимает во внутренней точке c сегмента [a, b].

(здесь рисунок)

По теореме 7.6 f’(c) = 0.

Теорема Ролля доказана.

Физическая интерпретация теоремы Ролля.

Пусть x – время, y = f(x) – координата точки, движущейся по оси y, в момент времени x. В моменты времени a и b точка занимает на оси y одно и то же положение: f(a) = f(b), в промежутке от a до b точка как-то движется по оси y. Для того, чтобы вернуться в исходное положение, точка в какой-то момент времени c должна остановиться, то есть в этот момент ее скорость f’(c) = 0.

О роли условий 1) – 3) в теореме Ролля.

1. Если f(a)  f(b), то утверждение теоремы Ролля несправедливо.

(здесь рисунок)

c: f’(c) = 0.

2. f(x) дифференцируема в интервале (a, b).

(здесь рисунок)

Не существует точки, где f’(x) = 0.

3. f(x) =.

f(x) дифференцируема в (a, b), но не дифференцируема в точках a и b.

(здесь рисунок)

f’(c) = 0.

Теорема 7.8. (Лагранжа). Пусть:

1. f(x) непрерывна на [a, b].

2. f(x) дифференцируема в (a, b).

Тогда  точка c  (a, b): f(b) - f(a) = f’(c) (b - a).

Доказательство.

Введем функцию F(x) = f(x) - f(a) - (x - a). Она удовлетворяет на сегменте [a, b] всем условиям теоремы Ролля. В частности, F(a) = F(b) = 0.

По теореме 7.7  точка c  (a, b): f’(c) = 0.

f’(c) -= 0. => f(b) - f(a) = f’(c) (b - a).

Теорема доказана.

Геометрическая интерпретация теоремы Лагранжа.

Пусть x – время, y = f(x) – координата точки, движущейся по оси y в момент времени x. =v_ср – средняя скорсть точки в промежутке [a, b]. f’(c) – мгновенная скорость в момент c. Теорема Лагранжа показывает, что найдется такой момент c, что мгновенная скорость будет равна средней скорости.

//Замечание.

(здесь рисунок)

Зафиксируем x = x₀  [a, b]. Дадим этой точке приращение x. Применим формулу Лагранжа к сегменту [x₀, x₀+x].

= f’()x.

 - x₀ =  x (0 <  <1), и поэтому  = x₀ +  x.

= f’(x₀ +  x)x – формула конечных приращений. Отметим, что главная часть приращения (дифференциал функции в точке x₀) выражается формулой: = f’(x₀)x.

Некоторые теоремы, доказывающиеся с помощью теоремы Лагранжа.

Теорема7.9 Если f(x) дифференцируема на пром-ке X и  x  X: f’(x) = 0, то f(x) = const на X.

Доказательство.

Пусть x₀ – какое-нибудь фиксированное значение аргумента из промежутка X, x – произвольное значение аргумента  X. Применим формулу Лагранжа:

f(x) - f(x₀) =(x - x₀) = 0.  x  X: f(x) = f(x₀) = const.

Теорема доказана.

Следствие. В главе 5 была сформулирована теорема 5.1: если F₁(x) и F₂(x) – две первообразные для f(x) на X, то F₁(x) - F₂(x) = const на X. Было доказано, что (F₁(x) - F₂(x))’ = 0  x  X.

Отсюда в силу теоремы 7.9 следует, что F₁(x) - F₂(x) = const на X, и тем самым теорема 5.1 доказана.

Необходимое и достаточное условие монотонности дифференцируемой функции.

Теорема 7.10. Для того, чтобы дифференцируемая на промежутке X функция f(x) не убывала (не возрастала) на этом промежутке, необходимо и достаточно, чтобы f’(x)  0 ( 0)  x  X.

Доказательство.

1. Достаточность. Пусть f’(x)  0  x  X. Возьмем  x₁ и x₂  X, x₂ > x₁.

По формуле Лагранжа, f(x₂) - f(x₁) = 0.

f(x₂)  f(x₁) при x₂ > x₁, а это и означает, что f(x) не убывает на промежутке X.

Достаточность доказана.

2. Необходимость.Пусть f(x) не убывает на промежутке X, то есть

f(x₂)  f(x₁) при x₂ > x₁. (1)

Докажем, что f’(x)  0  x  X. Допустим, что в какой-то точке c: f’(c) > 0. Тогда, по теореме 7.5, f(x) убывает в точке c и, следовательно, найдется такая окрестность точки c, где f(x) < f(c) при x > c, но это противоречит условию (1). Полученное противоречие доказывает, что наше предположение неверно и, следовательно, f’(x)  0  x  X.

Необходимость и вся теорема доказана.

(здесь рисунок)

Утвердждение 1. Из возрастания функции в точке не следует ее возрастание в какой-нибудь окрестности этой точки.

Пример.

f(x) =. f’(x) =.

f’(0) = 1 > 0.

Следовательно, по теореме 7.5 данная функция возрастает в точке x = 0, вместе с тем, она не является возрастающей ни в какой окрестности точки x = 0. Рассмотрим произвольную -окрестность точки 0.

(здесь рисунок)

Если бы функция возрастала в этой -окрестности, то по теореме 7.10 выполнялось бы неравенство: f’(x)  0  x  (-, ). Но это неравенство, очевидно, не выполнено: в любой -окрестности точки x = 0 имеются точки, в которых f’(x) > 0 и f’(x) < 0.

Утверждение 2. Если f(x) возрастает на интервале (a, b), то она возрастает в каждой точке этого интервала.

Доказательство.

Возьмем произвольную точку c (a, b). Рассмотрим окрестность этой точки, принадлежащую интервалу (a, b). Так как Если f(x) возрастает на (a, b), то f(x) > f(c) при x > c, f(x) < f(c) при x < c, а это и означает, что функция f(x) возрастает в точке c.

Утверждение 2 доказано.

Утверждение 3. Если f(x) возрастает в каждой точке интервала (a, b), то она возрастает на этом интервале.

Доказать самостоятельно.

Достаточное условие равномерной непрерывности функции.

Теорема 7.11. Если f(x) имеет на промежутке X ограниченную производную, то f(x) равномерно непрерывна на этом промежутке.

Доказательство.

Пусть  f’(x)  < M  x  X. Зададим произвольное  > 0. Возьмем  = (тем самым  зависит только от  и не зависит от x). Пусть теперь x₁ и x₂  X – такие, что x₂ - x₁<  = . Тогда f(x₂) - f(x₁) =f’()(x₂ - x₁)=<, а это и означает по определению, что f(x) равномерно непрерывна на промежутке X.

Теорема доказана.

Примеры.

1. f(x) = ln x на {x  a  0}.

 f’(x) = на {x  a}.

Следовательно, по теореме 7.11 ln x – равномерно непрерывная функция на этой полупрямой.

2. f(x) = ln x не является равномерно непрерывной функцией на {x > 0}.

Доказать самостоятельно.

3. Ограниченность производной – только достаточное, но не необходимое условие равномерной непрерывности фугкции.

Например, f(x) = arcsin x на (-1 < x < 1).