I семестр / Математический Анализ - ответы - 21-31 билеты / вопрос 27

27 Возрастание и убывание функци в точке. Локальный экстремум.

Пусть функция f(x) определена на (a, b) и пусть c  (a, b).

Определение. Говорят, что f(x) возрастает в точке c, если  окрестность точки с, в которой f(x) > f(c) при x > c, в которой f(x) < f(c) при x < c. Аналогично определяется убывание функции в точке c.

(здесь рисунок)

В точке c данная функция возрастает, в точке d - убывает.

Теорема 7.5. Если f(x) дифференцируема в точке c и f'(c) > 0 (< 0), то f(x) возрастает (убывает) в точке c.

Доказательство.

По определению производной, f'(c) = . В свою очередь, по определению предела   > 0   > 0 - такое, что <  при 0 < x - c < , или f'(c) -  < < f'(c) +  в -окрестности точки c (x  c). Рассмотрим случай, когда f'(c) > 0.Возьмем  = f'(c). Из подчеркнутого неравенства следует, что > 0 в -окрестности точки c (x  c).

в -окрестности точки c (x  c).

Это и означает, что то f(x) возрастает в точке c.

Теорема доказана.

//Замечание. Условие f'(c) > 0 является только достаточным, но не необходимым условием возрастания функции в точке c.

Примеры.

1. f(x) = x³.

(здесь рисунок)

f(x) возрастает в точке x = 0, но при этом f'(0) = 0, то есть условие f'(0) > 0 не вып.

2)

(здесь рисунок)

y = f(x) возрастает в точке c, но условие f'(c) > 0 не выполнено, так как

f'(c) не существует.

Определение. Будем говорить, что в точке c функция f(x) имеет локальный максимум (минимум), если найдется такая окрестность точки c, в к-ой f(x) < f(c) (f(x) > f(c)) при x  с.

(здесь рисунок)

Теорема 7.6. (Ферма). Если функция f(x) имеет в точке c локальный экстремум и дифференцируема в точке с, то f’(c) = 0.

Доказательство.

Пусть в точке c функция имеет максимум (для минимума доказательство аналогично). Допустим, f’(c)  0. Пусть f’(c) > 0. Тогда по теореме 7.5 функция возрастает в точке c и, следовательно, существует окрестность точки c, в которой f(x)  f(c) при x > c, но это противоречит тому, что в точке c функция имеет локальный максимум. Таким же образом можно показать, что f’(c) < 0 не выполнено. Значит, Пусть f’(c) = 0, что и требовалось доказать.

Теорема доказана.

//Замечание. Условие f’(c) = 0 является только необходимым, но не достаточным условием существования локального экстремума дифференцируемой функции.

Пример.

(здесь рисунок)

f(x) = x³, f’(0) = 0.