I семестр / Математический Анализ - ответы - 21-31 билеты / вопрос 31
.doc31 Другие формы остаточного члена.
Теорема 7.15. Пусть f(x) определена и n+1раз дифференцируема в окрестности точки x0. Пусть x – любое значение аргумента из этой окрестности, не равное x0, p – любое вещественное число. Тогда точка (x0, x):
Rn+1(x)
= f(x)
– Pn(x)
=
. (7)
Равенство (7) называется остаточным членом в общей форме.
Доказательство.
Введем обозначение:
Pn(x)
= f(x0)
+ … +
(x
– x0)n
(x,
x0).
Возьмем
x
x0
из указанной в условии теоремы окрестности
точки x0.
Пусть для определенности x
> x0.
(здесь рисунок)
x – фиксированное. Возьмем какое-нибудь p > 0. Числовую переменную, изменяющуюся на сегменте [x0, x], обозначим буквой t: x0 t x, и введем функцию:
(t)
= f(x)
- (x,
t)
-
= f(x)
- (x,
t)
-
Rn+1(x).
(t) на [x0, x] удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля:
(t)
= f(x)
- [f(t)
+
(x
– t)
+
(x
– t)2
+ … +
(x
– t)n]
-
Rn+1(x).
-
Так как f(x) n+1 раз дифференцируема, то (t) непрерывна на [x0, x],
-
(t) дифференцируема в интервале (x0, x),
-
(x0) = f(x) - (x, x0) -
[
f(x)
- (x,
x0)]
= 0,
(x) = 0, (x0) = (x). По теореме Ролля, (x0, x): ’() = 0.
’(t)
= - [f’(t)
- f’(t)
+ f’’(t)(x
– t)
- f’’(t)(x
– t)
+
(x
– t)2
- …
+ … -
(x
– t)n-1+
+
(x
– t)n]
+ p
Rn+1(x).
Полагая t = , получаем:
’()
=
(x
– )n
+ p
Rn+1(x)
= 0.
Rn+1(x)
=
. (7)
Теорема доказана.
Следствия.
-
p = n + 1.
Rn+1(x)
=
(x
– x0)n+1 (8)
Это остаточный член в форме Лагранжа.
(здесь рисунок)
- x0 = (x – x0), 0 < < 1.
= x0 + (x – x0).
Rn+1(x)
=
(x
– x0)n+1. (8)
-
p = 1. Тогда Rn+1(x) =
(x
– x0)f(n+1)().
Т.к.
= x0
+ (x
– x0),
то x
-
= (x
– x0)(1
- ).
Rn+1(x)
=
(1-)n
f(n+1)(x0
+ (x
– x0)). (9)
Это остаточный член в форме Коши.
//Замечание 1. Форма Пеано остаточного члена непосредственно следует из общей формы, а также из форм Лагранжа и Коши.
В самом деле, (x – x0)n+1 = o((x – x0)n) при x x0. И поэтому из формул (8) и (9) следует, что и (8), и (9) есть o((x – x0)n).
//Замечание 2. Так как точка в формуле (7) зависит от p, то величина в формах Лагранжа и Коши, вообще говоря, разная.