I семестр / Математический Анализ - ответы - 21-31 билеты / вопрос 23

23 Второе определение предела функции.

Определение предела функции по Коши: пусть f(x) определена на множестве X, и a - предельная точка X. Число b называется пределом f(x) при x  a, если   > 0   > 0 такое, что  x  {0 < x - a< }: f(x) - b < .

Рассмотрим множество X = {1, 2}.

(здесь рисунок)

1 и 2 не являются предельными точками X.

{x_n} = 1, 2, 1, 2, …, 1, 2, …

1 и 2 - предельные точки {x_n}.

Лекция 18

Пусть a - предельная точка области определения f(x).

Определение предела функции в точке a по Гейне:

b называется пределом f(x) при x  a, если  {x_n}  a (x_n  a): {f(x_n)}  b.

[13] Сформулировать отрицание определения предела по Гейне.

Теорема 6.5. Определения предела функции в точке a по Гейне и по Коши эквивалентны.

Доказательство.

1. Пусть f(x) = b по Коши. (1)

Требуется доказать, что  {x_n}  a (x_n  a) соответствующая последовательность {f(x_n)}  b, то есть   > 0  N,  n > N: f(x_n) - b < . (2). Рассмотрим произвольную последовательность {x_n}  a (x_n  a). Возьмем  > 0. В силу условия (1)   > 0,

 x  {0 <x-a< }: f(x) - b < . (3). В свою очередь, так как {x_n}  a (x_n  a), то для указанного   N,  n > N: 0 <x_n - a <  (4). Из (4) и (3) следует, что  n > N: f(x_n) - b < , то есть выполнено условие (2), что и требовалось доказать.

2. Пусть f(x) = b по Гейне. (5)

Предположим, что f(x)  b по Коши. Тогда   > 0 такое, что   > 0  x {0 <x - a< }: f(x) - b . Возьмем какую-нибудь последовательность {_n}  +0 (_n > 0). Например, можно взять _n = . Согласно сказанному выше,

 _n  x_n  : f(x_n) - b . (7)

Из (6) следует, что {x_n}  a (x_n  a). Отсюда в силу условия (5) следует, что {f(x_n)}  b, и поэтому = 0. С другой стороны, в силу неравенства (7)   > 0. Полученное противоречие доказывает, что наше предположение неверно и, следовательно, f(x) = b по Коши.

Теорема доказана.

Примеры.

1. Докажем, что x = a. (по Гейне). В самом деле,  {x_n}  a соответствующая последовательность {f(x_n)} = {x_n}  a, а это и означает, что x = a.

2. Докажем, что sin не существует (по Гейне).

{x_n} =  0. {f(x_n)} = 1.

{x'_n} =  0. {f(x'_n)} = -1.

Отсюда следует, согласно определению предела функции по Гейне, что sin не существует.

Определение предела функции по Гейне при x  . Если {x_n} - бесконечно большая последовательность, и x_n > 0, начиная с некоторого номера, то будем писать так: x_n = + , или {x_n}  +.

Определение (по Гейне). Число b называется пределом f(x) при x  +, если  {x_n}  +: {f(x_n)}  b.